2. Основы расчета потенциальных полей

2.1. Постановка задачи

Как сказано выше ЗУ отличаются большим разнообразием своих кон­струкций. Так, в качестве ЗУ могут использоваться обсадные трубы скважин глубокого бурения длиной несколько километров, металлические сетки сложной конфигурации, отдельные вертикальные или горизонтальные заземлители, элементы зданий, находящиеся в земле, и т.п.

Предметом расчета заземлителя является определение распределения тока по его элементам, сопротивление заземлителя (отношение потенциала заземлителя к току, втекающему в него), распределение потенциала вблизи заземлителя, напряжения прикосновения и шага.

Сам перечень этих параметров показывает, что задача расчета ЗУ это задача расчета электрического поля, созданного токами в земле, стекающими с ЗУ.

Большинство заземляющих устройств работают в установках перемен­ного тока. Однако основные и широко известные методы их расчета предпо­лагают, что размеры (например, максимальная длина) ЗУ много меньше дли­ны электромагнитной волны в грунте. По этой причине поле в земле рас­сматривается как квазистатическое, т.е. изменяющееся также как и ток и в каждый момент являющееся статическим. Отсюда и вытекает целесообраз­ность использования известных способов расчета статических полей [6-9].Следует сказать, что методы расчета полей существенно отличаются от методов расчета цепей. Поэтому в книге приводятся основные сведения, от­носящиеся к теории поля.

Также дается краткий обзор различных типов потенциальных полей. Это вызвано тем обстоятельством, что электрическое поле постоянного тока в проводящей среде является потенциальным и поэтому для его расчета мо­гут быть использованы результаты, полученные, например, при расчете элек­тростатических полей. Здесь в первую очередь следует назвать данные по расчетам емкости [8].

2.2. Что такое потенциальное поле?

Потенциальными называют стационарные физические поля, которые в каждой точке характеризуются распределением некоторых скалярных и век­торных величин, на свойства которых накладываются определенные условия. Обозначим скалярную величину, распределение которой и создает представ­ление о поле, как φ(x, у, z). Геометрической характеристикой скалярного поля служат линии или поверхности, на которых φ принимает постоянные значения. Примерами таких поверхностей являются изотермические поверх­ности (поверхности, на которых температура постоянна) в тепловом поле или эквипотенциальные поверхности в электростатическом поле. Принято называть скалярную величину φ - потенциалом.

Векторная величина E, характеризующая потенциальное поле, связана с φ соотношением

E = - gradφ. (1)

Градиент скалярной величины, взятый с обратным знаком, есть произ­водная по нормали к линии (или поверхности) постоянного значения скаляра, направленная в сторону убывания φ. В электростатике E - это напряженность поля.

Поле называют потенциальным только в том случае, когда выполняет­ся условие

rotE = 0. (2)

Условие (2) является необходимым и достаточным. Его смысл заклю­чается в том, что потенциальное поле является безвихревым.

Введем понятие силовой линии потенциального поля (в математике также используется термин векторная линия). Силовой линией называют кривую, в каждой точке которой вектор E направлен по касательной к этой кривой.

В потенциальном (безвихревом) поле не может быть замкнутых сило­вых линий, они начинаются и кончаются у источников поля или уходят в бесконечность.

Из выполнения условия (2) следует, что линейный интеграл E вдоль произвольной кривой l равен разности значений потенциала в конечной и на­чальной точках l

B

∫E cos(E,dl)dl = φ(B) – φ(A).

A

В пространстве, свободном от источников поля, распределение потен­циала подчиняется уравнению Лапласа, которое в прямоугольной системе координат записывается следующим образом:

д²φ д²φ д²φ

дx^{2 +} ду^{2 +} дz^{2 = O.} (3)

При наличии в пространстве распределенных источников поля распре­деление потенциала подчиняется уравнению Пуассона:

д²φ д²φ д²φ

дx^{2 +} ду^{2 +} дz^{2 = P.} (4)

Уравнения (3) и (4) являются основными в теории потенциальных по­лей, а их решение при соответствующих граничных условиях, позволяет ре­шать задачи расчета поля. Численные методы решения этих уравнений весь­ма разнообразны.

Метод интегральных уравнений, излагаемый в настоящем учебном по­собии, позволяет решать задачи, в математическом смысле полностью экви­валентные задачам решения уравнений Лапласа или Пуассона.