Преобразование Лапласа.

. (4.27)

Функция (4.27) называется интегралом Лапласа, который ставит в соответствие оригиналу f(t) операторное изображение F(p), т.е. f(t) _=^ F(p).

Поскольку это несобственный интеграл, то надо оговорить условия его сходимости:

• функция f(t) должна отвечать условиям Дирихле;

• функция f(t) ограничена, т.е. при она конечна или если и растет по модулю, то не быстрее некоторой экспоненциальной функции, гдеA и  – положительные числа, т.е. .

В этом случае интеграл Лапласа сходится, т.е. имеет конечное значение при условии, что .

Итак, всегда можно выбрать достаточно большое , не уточняя какое именно, так, чтоF(p) в полуплоскости является однозначной функцией, т.е. интеграл Лапласа существует в области.

Преобразование Лапласа может учитывать изменение физической величины в точке t = 0, если его представить в форме

. (4.28)

Выбор нижнего предела удобен, т.к. при этом учитываются особенности изменения воздействия и реакции в t = 0, когда они содержат импульсную составляющую, а также при использовании начальных условий (0^–), которые задаются формулировкой задачи.

Теоремы операторного метода

1) теорема об однозначном соответствии: f(t) _=^ F(p) и F(p) _=^ f(t);

2) теорема о линейности: f(t) _=^ F(p)  af(t) _=^ aF(p);

3) теорема о сумме: a_if_i(t) _=^ a_iF_i(p);

4) теорема запаздывания: f(t – t₀) _=^;

5) теорема смещения параметра:

6) теорема о свертке: если f(t) _=^ F(p) и g(t)  _=^ G(p), то

 _=^  ;

7) предельные соотношения принужденных составляющих:

7.1) ;

7.2) .

Но стержневые (ключевые) теоремы

8) теорема о дифференцировании: f(t) _=^ F(p)   _=^ pF(p) – f(0);

9) теорема об интеграле:  _=^ ,

они алгебраизируют систему дифференциальных уравнений.

Некоторые типовые преобразования Лапласа

Подключение rl цепи к источнику sin эдс

начальная фаза ЭДС , после срабатывания ключа.

1)Независимые нач. условия:

т.к. ключ разомкнут

2)

3)

4) ,

по закону Ома:

Переходим к временной функции:

5)при t=(0+)

6)соединяем все составляющие:

Периодич. Апериодическая

Составл. Составляющая(const)

Найдем напряжение:

Некоторые случаи:

1)ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА НЕТ!!!!

-на

2)

Чем выше тем

Порядок расчета переходных процессов операторным методом

1. Анализ независимых начальных условий (для этого необходимо рассчитать режим в t = 0^–).

Если индуктивность, то

Если ёмкость, то

2. Составление эквивалентной операторной схемы.

3. Расчет операторной схемы любым расчетным методом в операторной форме, привести изображение X(p) искомой величины к виду рациональной дроби.

4. Определение оригинала x(t) по X(p), т.е. обратный переход.

Пример 1. Рассмотрим заряд конденсатора при подключении RC–цепи на постоянное напряжение (рис. 4.26, а). Определим закон изменения в переходном режиме.

Цепь с нулевыми начальными условиями. Соответствующая операторная схема замещения представлена на рис. 4.26, б.

Операторное изображение напряжения на конденсаторе определим по закону Ома:

Изображение тока в операторной схеме замещения

Для отысканиявоспользуемся теоремой разложения:

_=^ .

Используя предельные соотношения, определим соответственно начальное и установившееся значения напряжения на конденсаторе:

Аналогичные значения будут получены по формуле, описывающей закон изменения в переходном режиме

и .

Пример 2. Найти напряжение на емкости в цепи (рис. 4.27), подключенной к источнику постоянного напряжения U = 4 B. Параметры элементов электрической цепи приведены на рисунке.

1. Анализ независимых начальных условий (докоммутационный режим)

2. Эквивалентная операторная схема представлена на рис. 4.29.

Операторные сопротивления:

Операторные ЭДС:

3. Расчет эквивалентной операторной схемы методом узловых потенциалов:

.

После необходимых преобразований получим

.

4. Для отыскания воспользуемся теоремой разложения:

_=^ ,

здесь ,

,

Таким образом,

.

Окончательно

.

Расчет свободных составляющих операторным методом

В тех случаях, когда изображение искомой величины может получиться громоздким (например, при наличии в цепи источников гармонических напряжений), имеет смысл применять операторный метод только для определения свободных составляющих переходного процесса. Для этого при составлении эквивалентной операторной схемы для свободных составляющих следует придерживаться следующих рекомендаций. Необходимо

– удалить источники питания (источники напряжения замкнуть накоротко, ветви с источниками тока разомкнуть);

– операторные ЭДС в индуктивности и емкости должны определяться начальными значениями только свободных составляющих и, т.е. операторная ЭДС в индуктивности равна, а в емкости, где.Проиллюстрируем эту идею на предыдущем примере, для чего сначала определим принужденные составляющиеи(рис. 4.30):

,

,

Эквивалентная операторная схема для свободных составляющих представлена на рис. 4.31.

После преобразований получим

Воспользуемся теоремой разложения

_=^