35 Определение корней характеристического уравнения
Если получено итоговое дифференциальное уравнение (4.2), то для составления характеристического уравнения в нем все производные от искомой величины заменяются корнем p в соответствующей степени, а сама искомая функция заменяется единицей:
. (4.6)
Однако процедура получения дифференциального уравнения (4.2) не всегда очевидна и всегда скучна и утомительна. Поэтому разработаны более ловкие и удобные методы составления характеристического уравнения.
Приведем некоторые из них без доказательства в виде практических рекомендаций.
Метод входного сопротивления (входной проводимости)
Составляем цепь, соответствующую свободному режиму (для этого удаляем все источники электрической энергии: источники ЭДС замыкаем накоротко, ветви с источниками тока размыкаем).
Размыкаем цепь в произвольном месте и относительно точек разрыва записываем входное комплексное сопротивление
,
при этом комплекс емкостного сопротивления
,
а индуктивного
.В полученном выражении повсеместно величину
заменяем корнемpи
приравниваем выражение к нулю.Уравнение
является характеристическим уравнением.
Следует отметить, что для цепей,
содержащих большое количество параллельных
ветвей, удобно пользоваться методом
входной проводимости. Метод состоит
в том, что записывается эквивалентная
комплексная проводимость между двумя
произвольными узлами послекоммутационной
цепи с отключёнными источниками. Далее,
как и в предыдущем случае,jзаменяется нари решается уравнение
.
36 Определение постоянных интегрирования
Постоянные интегрирования определяются из начальных условий, каковыми являются значения искомой функции и ее производных по (n– 1)-ую включительно в начальный момент времени 0+(«справа»). В переходных процессах задаются начальные условия «слева» в моментt = 0–, предшествующий коммутации (чаще всего они формулируются самой постановкой задачи и легко определяются из расчета докоммутационного режима). Нахождение начальных условий «справа» по известным значениям начальных условий «слева» – ключевой момент в расчете переходных процессов.
Опишем процедуру отыскания начальных условий в цепи n-го порядка
для послекоммутационной схемы (
)
составляют систему уравнений для
мгновенных значений токов и напряжений
по законам Кирхгофа, дополняют эту
систему компонентными уравнениями
типа
для емкости;рассматривают эту систему уравнений в момент t = 0+с учетом независимых начальных условий, которые по правилам коммутации берутся равными начальным условиям «слева», в результате определяются зависимые начальные условия, в том числе значения первых производных от индуктивных токов и емкостных напряжений;
для отыскания значений первых производных от зависимых электрических величин и вторых производных от независимых электрических величин необходимо систему уравнений из п. 1 продифференцировать и рассмотреть ее в момент t = 0+ с учетом информации, полученной в п. 2;
процедура дифференцирования продолжается до тех пор, пока не будет найдена (n– 1)-ая производная искомой функции в 0+.
Система уравнений для определения постоянных интегрирования имеет следующий вид:
(4.9)
Здесь для определенности полагаем все корни pk вещественными разными числами. Кроме того, следует учитывать, что при наличии в цепи только источников постоянных воздействий значение производных от принужденной составляющей переходного процесса равны нулю.
1)С помощью сист. Диф. Ур. В (0+) дополненную нач. усл. (П.1)
2) с помощью сх. Замещения в (0+)