2.3. Тензоры произвольного ранга

1. Поскольку тензоры второго ранга есть элементы векторного пространства, к ним тоже применима операция диадного умножения. Можно убедиться, что диадное умножение вектора на тензор второго ранга даст элемент векторного пространства, образованного всеми линейными комбинациями триад и являющегося 27-мерным. Диадное умножение двух тензоров второго ранга дает элемент 81-мерного векторного пространства всех линейных комбинаций квадриади т.д. Количество сомножителей в диадном произведении векторов называетсярангом тензора (или рангом тензорного пространства). Ранг тензорного пространства указывается в его обозначении в верхнем индексе, например, — пространство тензоров второго,— третьего,— четвертого ранга над пространствоми т.д. Если тензор разлагается по базису из полиад, его ранг легко определить по числу индексов, например, для количество индексов, а следовательно и ранг тензора, равны трем.

Формально векторы можно считать тензорами первого ранга, а скаляры — тензорами нулевого ранга, при этом в первом случае тензорное пространство порождено диадным произведением трехмерного векторного пространства и поля действительных чисел R (являющегося одномерным векторным пространством), а во втором — диадным произведением двух R.

2. Выясним, зависит ли тензор (произвольного ранга) от выбора базиса? Существование базиса есть свойство векторного пространства, а поскольку любой тензор есть вектор, вопрос можно переформулировать: “Зависит ли вектор от выбора базиса?” В аксиоматическом определении векторного пространства понятие базиса не используется, его существование из аксиом следует. Поэтому данный вопрос не может иметь определенного ответа. Некоторые экземпляры векторных пространств могут зависеть или не зависеть от выбора базиса. Так, известно, что векторы сил и перемещений не зависят от выбора базиса, а векторы моментов и угловых скоростей от выбора базиса зависят.

Для класса независящих от выбора базиса тензоров пользуются названием истинные тензоры, а среди зависящих от выбора базиса тензоров наиболее употребимы псевдотензоры (в частности, псевдовекторы и псевдоскаляры), законы преобразования компонент которых при переходе от старого базиса к новому отличаются от аналогичных законов для истинных тензоров лишь знаком определителя матрицы перехода (этот знак чувствует переходы от правого базиса к левому, либо наоборот).

При выводе законов (1.2.7), (1.3.13), (2.1.15) преобразования компонент векторов и тензоров при замене базиса мы молчаливо полагали эти векторы и тензоры не зависящими от выбора базиса.

3. Дадим примеры псевдотензоров, псевдовекторов и псевдоскаляров.

С помощью символов Леви - Чивиты (1.4.2) можно построить тензор третьего ранга (тензор Леви - Чивиты)

,,. (2.3.1)

Данный тензор позволяет дать безиндексные определения операциям векторного и смешанного умножения:

, (2.3.2)

(2.3.3)

Выясним закон преобразования компонент этого тензора при замене базиса. Умножая равенство (1.2.2) скалярно само на себя, получим , откуда с использованием (1.1.6) получаем,. Обозначим . С использованием (2.3.1), представленияи тождества (1.4.21) получаем

(2.3.4)

т.е. тензор Леви - Чивиты является псевдотензором.

По этой причине определяемые с помощью этого тензора векторное произведение векторов является псевдовектором, а смешанное произведение векторов — псевдоскаляром (предлагаем убедиться в этом).

4. С помощью тензора Леви - Чивиты любому тензору второго ранга T можно поставить в соответствие его аксиальный вектор

. (2.3.5)

Тензор второго ранга T симметричен тогда и только тогда, когда его аксиальный вектор равен нулю. Докажем необходимость

.

Достаточность

;

свернув последнее равенство с , получаем

,

что эквивалентно симметрии T.

Поскольку симметричная часть тензора второго ранга есть симметричный тензор, в силу последнего свойства

,

то есть аксиальный вектор тензора однозначно определяется его антисимметричной частью. По этой причине чаще рассматривают аксиальные векторы антисимметричных тензоров.

Если A — антисимметричный тензор, то его можно однозначно найти по его аксиальному вектору a

, где. (2.3.6)

Таким образом, аксиальный вектор a антисимметричного тензора A и сам этот тензор связаны взаимно однозначно.

Для антисимметричного тензора A и ассоциированного ему вектора a справедливы свойства

(2.3.7)

5. Понятия симметрии и антисимметрии определяются и для тензоров произвольного ранга .

С этой целью сначала определим операцию транспозиции тензора по некоторой паре индексов, которой называется перестановка местами двух любых индексов (или соответствующих базисных векторов) в разложении тензора. Пример транспозиции по индексам 1,3:

(2.3.8)

Раскладывая исходный и транспонированный тензоры в одном базисе, (2.3.8) записывается в виде

. (2.3.9)

Операция транспозиции тензора линейна (рекомендуется показать). Для тензора второго ранга существует единственная транспозиция, а для тензора ранга p число транспозиций равно .

Тензор называется симметричным по некоторой паре индексов, если он равен тензору, транспонированному по этой паре индексов, и антисимметричным по некоторой паре индексов, если он равен тензору, транспонированному по этой паре индексов, взятому с обратным знаком. Например, тензор симметричен (верхний знак) или антисимметричен (нижний знак) по 1-му и 3-му индексам при

. (2.3.10)

В (2.3.10) для каждого знака заключены ограничений.

Операции симметрирования и альтернирования тензора произвольного ранга по паре индексов понятны из примеров, относящихся к первому и второму индексам:

,,

и первому и третьему индексам:

,.

Тензор, симметричный (антисимметричный) по любой паре индексов, называется просто симметричным (антисимметричным).

Для тензора второго ранга данные условия имеют вид (2.2.15)

,

а для тензора третьего ранга — вид

.

Операции симметрирования и альтернирования тензора ранга p записываются в компонентной форме следующим образом:

(2.3.11)

где есть деленная на p! сумма компонент, образованных всеми перестановками индексов, есть деленная на p! сумма всех компонент, взятых с положительным знаком, с четными перестановками индексов и компонент, взятых с отрицательным знаком, с нечетными перестановками индексов,а аналогичные скобки, примененные к базисным полиадам, означают то же самое.

Для тензора третьего ранга (2.3.11) принимает вид

(2.3.12)

Отметим, что для тензора третьего ранга не существует разложения на симметричную и антисимметричную части, но существует представление

.

6. Выясним, сколько независимых компонент имеет антисимметричный тензор из пространства . Сначала рассмотрим пример антисимметричного. Из (2.2.15)и приi = j имеем , поэтому матрица компонент имеет вид

и три независимых компоненты.

Для антисимметричного последовательно рассмотрим случаи.

При все компоненты антисимметричного тензора равны нулю.

Доказательство. Легко показать, что компонента антисимметричного тензора, имеющая два совпадающих индекса, равна нулю: из (3.3) при i = k . Матрица компонент имеетp индексов, каждый из которых принимает значения от 1 до n, и в рассматриваемом случае, , для любого набора индексов их повторения неизбежны.

При антисимметричный тензор имеет одну независимую компоненту.

В данном случае существует n! перестановок различных индексов 1,2,...,n по n позициям, дающим ненулевые компоненты. Половина из них (полагаем, что n ³ 2) представляет собой четные перестановки (1234...n), другая — нечетные. Индексы всех ненулевых компонент получаются транспозициями индексов компоненты T_123...n, и по определению антисимметричного тензора они равны ±T_123...n.

При антисимметричный тензор имеетнезависимых компонент.

Так как все компоненты тензора, получаемые четными и нечетными перестановками некоторой совокупности p индексов, совпадают с точностью до знака (см. выше), отличающимися будут только компонент, отличающихся составом индексов.

Количество независимых компонент антисимметричного тензора из представляет собой размерность подпространства всех антисимметричных тензоров из.

Рассмотренный ранее пример антисимметричного тензора из действительно показал наличие у него независимых компонент. В п.2.2.12 было установлено, что все девятимерное пространство представляется прямой суммой ортогональных подпространств антисимметричных и симметричных тензоров. По только что доказанному размерности этих пространств есть соответственно три и шесть.

Антисимметричные тензоры из имеют согласно доказанному одну независимую компоненту, поэтому пространство таких тензоров одномерно. Поскольку тензор Леви - Чивиты является антисимметричным тензором третьего ранга, любой антисимметричный тензор изпредставляется в виде

. (2.3.13)

Рекомендуется самостоятельно выяснить число независимых компонент симметричных тензоров из .

7. Тензор рангаможно воспринимать в видеполилинейной формы:

(2.3.14)

(индексы ij...m не обязательно в порядке алфавита). Внешней формой называется полилинейная форма, соответствующая антисимметричному тензору. Внешние формы, образованные антисимметрированием полиад, имеют связь с определителями:

,

и т.д. (доказательство предоставляется провести читателю).

8. В теории упругости для записи обобщенного закона Гука используют тензор жесткостей четвертого ранга, обладающий следующей симметрией:

(2.3.15)

Тензоры с такой симметрией называют полусимметричными.

В дифференциальной геометрии используется тензор Римана - Кристоффеля четвертого ранга, имеющий симметрию

(2.3.16)

Обратите внимание, что ограничения в (2.3.15) и (2.3.16), вынесенные во вторую строчку, записываются с использованием двухкратной транспозиции.

Читателю предлагается подсчитать число независимых компонент данных тензоров.