Приклад виконання завдання

Розглянемо приклад виконання завдання за вихідних даних, наведених у таблиці 1.4.

Таблиця 1.4 — Вихідні дані задачі

Вид заготовки		Кількість заготовок, отриманих за варіантами розкрою, од.				Потреба у заготовках, од.
		1	2	3	4
І	5		–	4	2	80
ІІ	–		7	1	4	60
Відходи паперу, см2	25		15	25	12

Розв’язок.

Складемо математичну модель задачі. Нехай х_і () кількість рулонів, що розкроюються заі-м варіантом. Тоді, за умовою задачі, необхідно мінімізувати відходи від розкрою паперу

,

при обмеженнях:

– на заданий план виходу заготовок кожного виду

;

.

– на невід’ємність змінних задачі

, .

Запишемо для цієї прямої задачі двоїсту.

Максимізувати

,

при обмеженнях

;

;

;

;

; .

Двоїста задача має дві незалежні змінні, тому може бути розв’язана графічним методом. Розв’язок двоїстої задачі графічним методом наведено на рис. 1.1.

Рисунок 1.1 — Розв’язування двоїстої задачі графічним методом

Оптимальний розв’язок двоїстої задачі досягається у точці перетину прямих

Розв’язавши цю систему рівнянь, отримаємо оптимальний план двоїстої задачі:

; ;.

Знайдемо оптимальний план прямої задачі, використовуючи другу теорему двоїстості.

Підставимо оптимальні значення змінних двоїстої задачі до її системи обмежень та перевіримо, як виконуються обмеження цієї задачі:

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

Таким чином бачимо, що друге та третє обмеження двоїстої задачі виконуються як нерівності. З цього, на підставі другої теореми двоїстості, робимо висновок, що друга та третя змінна оптимального плану прямої задачі дорівнюють нулю. Далі, оскільки всі компоненти оптимального плану двоїстої задачі є додатними, то обидва обмеження оптимального плану прямої задачі виконуються як строгі рівняння.

Покладаючи тау системі обмежень прямої задачі та замінивши знаки нерівностей на знаки рівностей отримаємо систему рівнянь

.

Звідки знаходимо оптимальний розв’язок прямої задачі:

; ;;;.

Таким чином, необхідно розкроїти 10 рулонів паперу за першим варіантом та 15 рулонів паперу за четвертим варіантом. При цьому мінімальна кількість відходів складе 430 см².

Контрольні запитання

1. У чому полягає сутність двоїстості у лінійному програмуванні?

2. Які двоїсті задачі називають симетричними, а які — несиметричними? У чому полягає їх відмінність?

3. Як визначається кількість змінних та обмежень двоїстої задачі у відповідності до прямої задачі?

4 Сформулюйте теореми двоїстості.

5 Сформулюйте правила побудови двоїстих задач лінійного програмування.

6 Запишіть всі види прямих та двоїстих задач.

Самостійна робота №2 двоїстий симплекс-метод

Мета роботи: вивчення алгоритму розв’язування задач лінійного програмування двоїстим симплекс-методом.