Приклад виконання завдання
Навантажувач
експлуатується на протязі
років. На початку кожного року може бути
прийняте рішення про заміну навантажувача
на новий. Вартість нового навантажувача
на
-му
році експлуатації складає
у.г.о.
Після t
років експлуатації навантажувач на
-му
році можна продати за
у.г.о.
Вартість утримання навантажувача на
протязі
-го
року складає
у.г.о.
Визначити оптимальний термін заміни
навантажувача на новий, щоб сумарні
витрати (з врахуванням витрат на придбання
нового навантажувача на початку терміну
експлуатації та грошової компенсації
за рахунок заключного продажу) були
мінімальними.
Розв’язок.
Процес
експлуатації навантажувача складається
з шести кроків. Стан
на початку
-го
кроку характеризується одним параметром
– віком навантажувача. Рівняння стану
для даного процесу має вигляд:
Управління на кожному кроці полягає у виборі одного з двох рішень: замінити навантажувач на новий чи зберегти його у експлуатації надалі.
Функціональні рівняння Беллмана мають вигляд:
для
останнього
кроку (
)
;
для
наступних кроків (
)
Умовна
оптимізація процесу на кроках
наведена у табл. 6.2
згідно рівнянь:
У 5-му та 8-му стовпцях таблиці 6.2 наведені, відповідно, значення першого та другого з цих рівнянь, а у 9-му стовпці — мінімальне з цих двох значень.
Таблиця
6.2 — Умовна оптимізація процесу (
)
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
Дія |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
5 |
0 |
700 |
–500 |
200 |
7700 – 700 = 7000 |
–500 |
200 |
200 |
зам./зб. |
|
1 |
1400 |
1250 |
2650 |
7700 – 3500 = 4200 |
–500 |
3700 |
2650 |
зберегти | |
|
2 |
2100 |
2500 |
4600 |
7700 – 1750 = 5950 |
–500 |
5450 |
4600 |
зберегти | |
|
3 |
2800 |
3500 |
6300 |
7700 – 875 = 6825 |
–500 |
6325 |
6300 |
зберегти | |
|
4 |
3500 |
4015,6 |
7515,6 |
7700–437,5 = 7262,5 |
–500 |
6762,5 |
6762,5 |
замінити | |
|
4 |
0 |
650 |
2650 |
3300 |
7150 – 6500 = 650 |
2650 |
3300 |
3300 |
зам./зб. |
|
1 |
1300 |
4600 |
5900 |
7150 – 3250 = 3900 |
2650 |
6550 |
5900 |
зберегти | |
|
2 |
1950 |
6300 |
8250 |
7150 – 1625 = 5525 |
2650 |
8175 |
8175 |
замінити | |
|
3 |
2600 |
6762,5 |
9362,5 |
7150–812,5 = 6337,5 |
2650 |
8987,5 |
8987,5 |
замінити | |
|
3 |
0 |
600 |
5900 |
6500 |
6600 – 6000 = 600 |
5900 |
6500 |
6500 |
зам./зб. |
|
1 |
1200 |
8175 |
9375 |
6600 – 3000 = 3600 |
5900 |
9500 |
9375 |
зберегти | |
|
2 |
1800 |
8987,5 |
10787,5 |
6600 – 1500 = 5100 |
5900 |
11000 |
10787,5 |
зберегти | |
|
2 |
0 |
550 |
9375 |
9925 |
6050 – 5500 = 550 |
9375 |
9925 |
9925 |
зам./зб. |
|
1 |
1100 |
10787,5 |
11887,5 |
6050 – 2750 = 3300 |
9375 |
12675 |
11887,5 |
зберегти | |
|
1 |
0 |
5500 |
11887,5 |
17387,5 |
|
|
|
17387,5 |
зберегти |
)
Умовна оптимізація процесу на 6-му кроці наведена у таблиці 6.3.
Таблиця
6.3
— Умовна оптимізація процесу (
)
|
|
|
|
|
Дія |
|
0 |
750 – 4000 = –3250 |
4250 – 7500 = –3250 |
–3250 |
зберегти/ замінити |
|
1 |
1500 – 2000 = – 500 |
4250 – 3750 = 500 |
–500 |
зберегти |
|
2 |
2250 – 1000 = 1250 |
4250 – 1875 = 2375 |
1250 |
зберегти |
|
3 |
3000 – 500 = 2500 |
4250 – 937,5 = 3312,5 |
2500 |
зберегти |
|
4 |
3250 – 250 = 3000 |
4250 – 468,8 = 3781,2 |
3000 |
зберегти |
|
5 |
4500 – 125 = 4375 |
4250 – 234,4 = 4015,6 |
4015,6 |
замінити |
Подальша
безумовна оптимізація дає мінімальні
витрати
у.г.о.
Оптимальне управління наведене у таблиці
6.4.
Таблиця 6.4 — Оптимальна стратегія заміни навантажувача
|
Роки періоду експлуатації та оптимальні рішення | |||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
зберегти |
зберегти |
зберегти |
замінити |
зберегти |
зберегти |
Отже, придбаний навантажувач необхідно експлуатувати три роки, на 4-му році замінити на новий та продовжувати експлуатувати час, що залишився.