gurtov

12.1. Двумерные электроны

(12.25) решается с этим потенциалом ψвход(z), находятся величины Ei, ξi(z), затем по соотношениям (12.14) и (12.15) величина n(z). Полученное значение n (z) подставляют в уравнение Пуассона (3.6), решают его численными методами (обычно используют метод Рунге – Кутта) и находят новое значение выходного потенциала ψвых(z). Если величины ψвход(z) и ψвых(z) соответствуют друг другу с приемлемой разницей, самосогласованное решение найдено. Если же нет, то ψвых(z) заменяет входной потенциал ψвход(z) в системе (12.25) и совершается новый круг итерационного процесса. Метод самосогласованного поля позволяет находить значение энергии и вид волновых функций для любого числа подзон поперечного квантования.

На рис. 12.3 представлены в качестве примера величины энергии первых трех уровней, рассчитанных подобным образом. На рис. 12.4 приведены плотности распределения n(z), полученные с учетом квантовой и классической статистики. Обращает на себя внимание тот факт, что распределения n(z) для классического и квантового случая различаются очень сильно, особенно вблизи поверхности. Из рисунка видно, что квантовый предел качественно дает во многом подобную картину по распределению n(z), что и самосогласованный расчет.

12.1.5.Диаграмма состояния электронного газа в инверсионном канале

Рассмотрим диаграмму величин избытков свободных носителей Гn и температур T,

обычно варьируемых в эксперименте (Гp,n = 107×1013 см–2; T = 0÷400 К), и выделим области Гn и T, соответствующие различным состояниям электронного (или дыроч-

ного) газа в канале. За критерий отсутствия квантования примем малость дебройлевской длины волны, определяемой соотношением (12.1), по сравнению со средней толщиной инверсионного канала. В реальных ситуациях в инверсионных каналах квантование наступает раньше вырождения. За критерий вырождения возьмем условие пересечения уровнем Ферми на поверхности дна нулевой квантовой подзоны. Это приведет для двумерного газа, согласно (12.20), к условию:

На рис. 12.5 приведена диаграмма Гn и T, рассчитанная таким образом для ОПЗ кремния с NA = 1015 см–3.

Анализ диаграммы позволяет определить области температур и избытков Гn, где можно пользоваться анализом для треугольной ямы и в квантовом пределе. Поскольку для Гn > 1012 см–2 весь газ двумерен и вырожден, для этой области необходимо использовать самосогласованный расчет.

Таким образом, учет поперечного квантования в инверсионном канале приводит

кдвум основным следствиям:

1)плотность состояний в пределах одной квантовой подзоны не зависит от энергии и меняется при изменении толщины канала;

2)происходит уширение, по сравнению с классическим расчетом толщины инверсионного канала.

Глава 12. Квантовый эффект Холла в двумерном электронном газе

Рис. 12.5. Диаграмма, показывающая состояние электронного газа в инверсионном канале в зависимости от избытка электронов Гn и температуры T [38]

12.2. Квантовый эффект Холла

Рассмотрим гальваномагнитные эффекты, возникающие в сильных магнитных полях в двумерном (2D) электронном газе в инверсионых каналах МДП-приборов. Перераспределение носителей по энергии вследствие сильного электрического E и магнитного B поля проявляется в ряде экспериментально наблюдаемых особенностей поведения электронов в этом случае [7].

12.2.1. Зависимость ЭДС Холла от параметров инверсионного канала

Аппроксимируем распределение электронов по инверсионному каналу в виде плос-

кости с плотностью электронов на единицу площади Г . Длину и ширину канала

n

обозначим соответственно через L и W. Тянущее электрическое поле E будем считать

слабым. Магнитное поле с индукцией B направлено перпендикулярно инверсионному каналу. Схема измерения реализуется на МДП-транзисторах с холловской геометрией.

Величина тока I, протекающего во внешней цепи при напряжении Vds между истоком и стоком, будет определяться зарядом Q, прошедшим через сток за единицу

12.2. Квантовый эффект Холла

где Q(L = 1) — заряд электронов в инверсионном канале на единицу длины L канала. Величина тока I после преобразования соотношения (12.26) будет:

Соотношение (12.27) — хорошо известное выражение для тока канала в МДП-

Сила Лоренца, действующая на электроны в канале, с учетом направления B ,

В стационарном случае сила FH со стороны добавочного холловского поля EH будет уравновешивать силу Лоренца, а между холловскими контактами возникает разность потенциалов VH. Получаем:

Выражая из уравнения (12.28) значение скорости υd и подставляя в (12.29), получаем:

Из соотношения (12.30) следует, что для двумерного случая холловское напряжение VH, как и в трехмерном случае, определяется произведением тока I на индукцию магнитного поля B. Однако в двумерном случае постоянная Холла RH определяется концентрацией электронов на единицу площади Гn.

12.2.2. Циклотронная частота

В случае сильного магнитного поля B такого, что время релаксации между актами рассеяния τ существенно больше, чем период обращения электрона в магнитном поле, движение электронов значительно отличается от прямолинейного. При-

Частота вращения электрона в магнитном поле получила название циклотронной частоты ωc и, как видно из соотношения (12.31), будет равна:

Величина кванта энергии ћωc, соответствующего движению в магнитном поле B , равном 1 Тл, при эффективной массе, равной массе свободного электрона mn* = m0, будет ħωc ≈ 2·10–23 Дж = 10–4 эВ.

Глава 12. Квантовый эффект Холла в двумерном электронном газе

Следовательно, для произвольных значений индукции поля B и эффективной

Полезно отметить, что значения тепловой энергии kT при различных температурах T равны:

Из соотношения (12.33) и приведенной таблицы следует, что для наблюдения процессов, связанных с квантованием энергии в магнитном поле, необходимы, как правило, сверхнизкие температуры, ниже температуры жидкого гелия (T = 4,2 К).

12.2.3.Спектр энергии двумерных электронов в поперечном магнитном поле

Для двумерного электронного газа спектр энергий имеет вид:

где Ei — энергия дна поверхностных подзон, соответствующая номеру i. Движение электронов вдоль инверсионного канала остается свободным. При приложении магнитного поля B, перпендикулярного плоскости (x, y), происходит квантование по магнитному полю. Непрерывный спектр энергии E (k) для каждой i-й подзоны переходит в дискретный, возникают уровни Ландау:

На рис. 12.6 приведена зависимость E(k) при наличии и отсутствии магнитного поля. Из рисунка 12.6 видно, что при наличии сильного электрического поля в предельном случае низких температур двумерный электронный газ превращается в нульмерный электронный газ.

Рис. 12.6. Зависимость энергии E от волнового вектора k для двумерных электронов:

а) при отсутствии магнитного поля; б) в сильном магнитном поле

12.2. Квантовый эффект Холла

12.2.4. Число состояний для электронов на уровне Ландау

Найдем радиус орбиты Ландау в постранстве квазиимпульсов для электронов. Поскольку:

где p ,n — квазиимпульс электрона на орбите с номером n.

Из соотношения (12.37) следует, что орбита электрона в магнитном поле квантована по квазиимпульсу. Используя соотношение (12.31) для радиуса орбиты в

изменения разрешенных значений квазиимпульса для 2D-электронного газа при приложении магнитного поля. Оценим площадь кольца в p-пространстве между орбитами Ландау. Она равна:

нее эту площадь в p-пространстве занимали 2D-электроны, причем каждый электрон

Глава 12. Квантовый эффект Холла в двумерном электронном газе

занимал объем px· py = (2πħ)2 (при координатном объеме V = 1). Теперь все электроны из области между уровнями Ландау «сели» на один квантовый уровень Ландау с номером n. Отсюда число электронов, которое находится на одном уровне Ландау, обозначаемое значком G, будет:

Поскольку на уровне Ландау с одним и тем же значением энергии En может находиться несколько электронов, то этот уровень будет вырожденным. Величину G называют в связи с этим фактором (или степенью) вырождения уровня Ландау. По размерности и физическому смыслу фактор вырождения G определяется как число мест на единицу площади для электронов на уровне Ландау. Отметим, что степень вырождения уровня Ландау не зависит от его номера, а определяется только величиной индукции магнитного поля B.

12.2.5.Плотность электронов в 2D-электронном газе в сильном магнитном поле

Макроскопическим параметром, возможным для измерения в 2D-электронном газе в присутствии магнитного поля, является плотность электронов Гn, рассчитанная на единицу площади. Пусть заполнено i уровней Ландау, а у (i + 1) уровня заполнена только часть, обозначенная через ε. Тогда, согласно соотношению (12.41), число электронов Гn будет:

12.2.6.Эффект Холла для 2D-электронов в сильном магнитном поле

При исследовании эффекта Холла измеряемыми величинами являются холловское напряжение VH и ток канала I. Если разделить холловское напряжение VH на ток канала I, то полученная величина имеет размерность сопротивления, обычно называемого холловским сопротивлением Rxy:

Для слабых магнитных полей B без учета квантования по магнитному полю B зависимость холловского сопротивления Rxy от плотности электронов Гn — гиперболическая и гладкая функция от величины Гn. Экспериментально зависимость Rxy = f (Гn) наблюдается легко при изменении Гn путем вариации напряжения на затворе VG. При наличии квантования по магнитному полю число электронов Гn определяется выражением (12.42). Подставляя соотношение (12.42) в (12.43), получаем:

Контрольные вопросы

Из уравнения (12.44) следует, что в случае полного заполнения i-го уровня Ландау величина холловского сопротивления будет равна:

Отметим, что состояния полного заполнения i-го уровня Ландау по оси плотности электронов ничем, вообще говоря, не выделены по сравнению с не полностью заполненными уровнями. На рис. 12.8 приведены точками расчетные значения 1-го, 2-го, 3-го и т. д. уровней Ландау.

Рис. 12.8. Зависимость холловского сопротивления Rxy от избытка электронов Гn:

а) в отсутствие магнитного поля; б) расчетная зависимость, точками обозначены состояния полного заполнения уровней Ландау; в) экспериментальная зависимость

Экспериментальное исследование на холловских МДП-транзисторах показало, что на месте полного заполнения уровней Ландау возникают ступеньки на зависимости холловского сопротивления Rxy от избытка электронов Гn. Величина холловского сопротивления на этих ступеньках Rxy определяется только универсальными физическими постоянными — постоянной Планка h и зарядом электрона q. Само значение Rxy при i = 1 равно:

и в настоящее время служит в качестве эталона ома.

Появление ступенек на зависимости холловского сопротивления Rxy от величины избытка электронов Гn или индукции магнитного поля B получило название квантового эффекта Холла. Автор открытия, западногерманский физик Клаус фон Клитцинг удостоен Нобелевской премии 1985 года по физике.

Контрольные вопросы

12.1.Как меняется плотность квантовых состояний при переходе от трехмерного

кдвумерному и одномерному электронному газу?

12.2.Каковы уровни Ландау для двумерного электронного газа в сильном магнитном поле?

12.3.Почему холловское сопротивление для двумерного электронного газа в квантующих магнитных полях постоянно при некотором изменении концентрации носителей в инверсионном канале?

12.4.Какова точность эталона ома при использовании в качестве эталона ома квантового эффекта Холла?

ГЛАВА 13

ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ

ПРИБОРЫ

ПРИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ

ТЕМПЕРАТУРАХ

13.1.Полупроводниковые материалы для высокотемпературной электроники

Всобственном полупроводнике концентрация свободных носителей ni характеризуется двумя основными параметрами — шириной запрещенной зоны Eg и температурой T. Как было показано в первой главе, концентрация свободных носителей ni определяется следующим соотношением:

Из соотношения (13.1) следует, что чем больше ширина запрещенной зоны Eg, тем меньше собственная концентрация при одной и той же температуре. В табл. 13.1 приведены значения ширины запрещенной зоны Eg и собственной концентрации ni для перспективных полупроводниковых материалов при T = 300 К.

Таблица 13.1

На рис. 13.1 представлена зависимость концентрации собственных носителей от температуры для широкозонных полупроводников: кремния, арсенида и фосфида галлия, карбида кремния и нитрида галлия. Видно, что при изменении ширины запрещенной зоны в диапазоне от 1,1 эВ для кремния до 3,4 эВ для нитрида галлия, собственная концентрация ni при комнатной температуре T = 300 К изменяется от значения 1010 см–3 до 10–10 см–3.

По мере роста температуры T собственная концентрация ni возрастает. Найдем температурную границу возможности использования полупроводника в приборах как температуру Tгр, при которой значение собственной концентрации ni сравняется со значением концентрации основных носителей, определяемой легирующей концентрацией ND. Известно, что Eg и NC,V зависят от температуры. Для оценки граничной

температуры пренебрежем этим фактом. Тогда, учитывая что n0 = ND, после преобразования получим:

Глава 13. Полупроводниковые приборы при экстремальных температурах

Выберем для значения легирующей концентрации стандартную величину

ND = 1015 см–3.

Рассчитанные по соотношению (13.2) значения граничной температуры составляют для кремния 270°C, а для нитрида галлия 1300°C. В табл. 13.1 приведены для различных полупроводников рассчитанные по соотношению (13.2) значения граничной температуры.

Отметим, что описанный выше критерий является верхней температурной границей, обусловленной выбранными физическими ограничениями. При использовании в полупроводниковых приборах электронно-дырочных переходов в качестве ограничения может выступать обратный ток p-n-перехода.

Как уже отмечалось в главе 4, при обратном смещении ток диода обусловлен дрейфовой компонентой тока неосновных носителей. Для несимметричного p-n+-перехода (NA << ND) концентрация неосновных носителей в p-области существенно выше, чем в n-области (np0 >> pn0). Обратный ток p-n-перехода в этом случае будет обусловлен дрейфовой электронной компонентой, определяемой концентрацией неосновных носителей np0. Величина концентрации неосновных носителей:

− Eg

поскольку ni = NC NV e 2kT . Обратный ток p-n-перехода в этом случае будет экспоненциально сильно зависеть от температуры:

E

I0 ≈ const e− kTg.

Отметим, что в реальных случаях на зависимость тока будет также влиять температурная зависимость диффузионной длины Ln и времени жизни τn.

Для прямого тока p-n-перехода зависимость тока от температуры существенно слабее.

На рис. 13.2 приведена зависимость от температуры прямого и обратного тока для кремниевого диода. Видно, что при температуре T = 175°C характеристики еще удовлетворительны, но при температуре T = 200°C обратный ток кремниевого диода уже сравняется с прямым током.

Другими параметрами, которые ограничивают рабочую температуру приборов твердотельной электроники, являются термодинамические характеристики материалов и условия отвода джоулевой мощности, выделяемой при работе этих устройств. По мере роста температуры T возрастают коэффициенты диффузии акцепторной и донорной примеси, формирующие электронно-дырочные переходы. При температурах T = 800°C начинается взаимодиффузия примесей в p- и n-областях полупроводников, ограничивающая надежность и срок службы полупроводниковых приборов. Для решения проблемы теплоотвода широкозонные материалы являются весьма привлекательными, поскольку возрастают допустимые плотности мощности и температуры p-n-переходов. Но при этом уменьшается площадь, с которой отводится тепло, и необходимо использовать вместо медных уже алмазные теплоотводы. Тем не менее для высокотемпературной электроники перспективными являются широкозонные полупроводники типа карбида кремния и нитрида галлия, а также гетероструктуры на их основе.