Обчислення визначених інтегралів в системі MatLab

Для обчислення визначеного інтеграла по формулі трапецій використовується функція trapz(x,y), де x і у вектора вузлів і значень функції відповідно. Вектор вузлів можна не задавати, тоді звертання має спрощений вид trapz(y), а як ординати використовуються їх індекси (x=1:length(y)). Вузли по осі можуть бути і не рівновіддаленими.

Наприклад

>> x=1:0.1:2;

>> y=log(x);

>> trapz(x,y)

ans=0.3859

Точне значення інтеграла 0.3863 (перевірте!).

Для обчислення визначеного інтеграла по формулі Симпсона використовується функція

q=quad(fun,a,b,eps), де перший аргумент є покажчиком на підінтегральну функцію, другий і третій аргументи визначають межі інтеграції. Останній аргумент задає необхідну точність обчислення інтеграла. Якщо точність не задана, то береться за умовчанням значення . При обчисленні інтеграла використовується адаптивний алгоритм із зменшенням кроку удвічі на кожній ітерації і перевіркою досягнутої точності за правилом Рунге.

Наприклад

>> quad('log(x) ',1,2)

>> ans=0.3863

Окрім значення інтеграла, функція quad повертає ще один параметр - кількість звернень до обчислення значень підінтегральної функції:

>> format long

>> [q,fcnt]=quad('log(x) ',1,2,1.e-6)

q=0.38629433433642

fcnt=13

>> [q,fcnt]=quad('log(x) ',1,2,1.e-16)

q=0.38629436111989

fcnt=1173

4.4 Індивідуальні завдання до лабораторної роботи

1. Реалізуйте програму обчислення інтегралів по формулах прямокутників(непарні варіанти) і трапецій (парні варіанти) з виведенням проміжних значень у вигляді таблиці :

№ узла

xi

yi

2. Реалізуйте програму обчислення інтегралів із заданою точністю для методу Симпсона.

3. Виберіть інтеграли відповідно до вашого варіанту і обчисліть їх за допомогою програм.

4. Для заданих інтегралів знайдіть оцінку із заданим числом вірних знаків (не менше 6) за допомогою функцій MatLab.

Таблиця 4.1 - Варіанти завдань

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Продовження таблиці 4.1
11
12
13
14
15
16
17
18
19

4.5 Контрольні питання

1. Як в чисельних методах можна зменшити похибку обчислення інтеграла?

2. Якою апроксимуючою замінюється підінтегральна функція в методах прямокутників, трапецій і Симпсона?

3. Алгоритми чисельних методів обчислення визначених інтегралів.

4. Функції системи MatLab для обчислення інтегралів.

Лабораторна робота № 5

рішення звичайного диференціЙного рівняння. ЗАДАЧА КОШІ.

5.1 Мета роботи.

Вивчення чисельних методів Ейлера, Рунге-Кутта рішення звичайного диференціального рівняння першого порядку та придбання практичних навиків використання системи MatLab для цієї задачі.

5.2 Завдання до лабораторної роботи

1. Ознайомітісь з основними теоретичними відомостями - розділи 5.3 методичних вказівок.

2. Виконати в MatLab всі приклади, наведені в розділі 5.3. Протокол роботи зберегти у файлі LaboratoryWork5_1.txt.

3. Віконаті в MatLab індивідуальні завдання наведені в розділі 5.4.

4. Протокол виконання індивідуального завдання оформити у вигляді skript-файлу.

5. У звіті наведіть тексти написаних програм, протокол роботи і результати роботи при виконанні кожного пункту завдання.

5.3. Основні теоретичні відомості

5.3.1 Постановка задачі Коши

Інженерні і наукові задачі часто пов'язані з рішенням диференційних рівнянь, оскільки з їх допомогою описуються багато фізичних явищ. Для багатьох практично важливих випадків задачі, що описуються диференціальними рівняннями, дуже складні, і отримати їх точне рішення виявляється важко або неможливо. Задачу Коші можна сформулювати таким чином. Дано звичайне диференційне рівняння

(5.1)

і початкові умови

. (5.2)

Вимагається знайти функцію ,що задовольняє рівнянню (5.1) і початковій умові (5.2). Методи рішення задачі Коши діляться на однокрокові і багатокрокові. До однокрокових відносяться простий метод Ейлера, модифікований метод Ейлера, метод Коши і метод Рунге-Кутта, до багатокрокових - метод Адамса і предиктор-корректор метод (метод прогнозу і корекції).

Геометрично завдання інтеграції диференціальних рівнянь полягає в знаходженні інтегральних кривих, які в кожній своїй точці мають заданий напрям дотичної. Завданням початкової умови ми виділяємо з сімейства рішень ту єдину криву, яка проходить через фіксовану точку (x₀ ,u₀).