3.3.2 Метод Рунге збільшення порядку точності формул
Нехай в загальному випадку є формула (x,h) для обчислення z(x) по значеннях на рівномірній сітці з кроком h.
Проведемо тепер розрахунок по тій же наближеній формулі для тієї ж точки х, але використовуючи рівномірну сітку з іншим кроком rh. Тоді можемо провести обчислення похідної по уточнюючій формулі Рунге:
Приклад 3.3.1. Нехай функція y(x) задана таблицею 3.1 і необхідно обчислити першу похідну цієї функції для x=3.
Таблица 3.1 - Значення функції y(x)
|
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
y(x) |
0 |
0,301 |
0,478 |
0,602 |
0,699 |
Виберемо для обчислень найпростішу формулу (3.3):
.
Збільшуємо
крок удвічі (r=2), тобто обчислюємо похідну
по точкам х=1
та х=5:
.
Проведемо обчислення по другій формулі Рунге:
Точне значення похідної рівне 0,141. Похибка склала 2%. Апостеріорна оцінка похибки для
3.3.3 Функції matlab для чисельного диференціювання
Як відомо, чисельне диференціювання будується на використовуванні апарату кінцевих різниць і відповідного різноманіття апроксимацій. Тут корисні функції:
diff(X), diff(X, n), diff(X, n, dim) - обчислення кінцевих різниць (перших, n-го порядку або по вказаному вимірюванню); якщо Х -масив, беруться різниці між стовпцями:
|
>> F= |
[ 0 |
0.0998 |
0.1987 |
0.2955 |
0.3894 |
0.4794] |
|
>> D=diff(F) | ||||||
|
D = |
0.0998 |
0.0988 |
0.0969 |
0.0939 |
0.0900 | |
|
>> D2=diff(F,2) |
| |||||
|
D2 = |
-0.0010 |
-0.0020 |
-0.0030 |
-0.0039 | ||
Приклад 3.3.2. Обчислення значення похідної функції f(x)= sin(0.01x2) на інтервалі [0,10] в системі MatLab
>>f=inline('sin(0.01*x.^2)'); %завданя ф-ії, що диференціюється
>>dx=0.01; % крок координатної сітки
>>x=0:dx:10*pi; % обчислення координат вузлів
сітки
>>yf=feval(f,x); % обчислення значень функції у
вузлах сітки
>>n=length(x);
>>m=1:n-1;
>>df(m)=(yf(m+1) -уf(m))/dx; % виконання процедури
чисельного диференціювання
>>f1=inline('0.02*x.*cos(0.01*x.^2)'); % завдання функції, що
описує першу похідну
>>yf1=feval(f1,x); % обчислення значень
першої похідної
по аналітичній формулі
>>plot(x(m),abs(yf(m) -yf1(m)); %визуализация різниці
між чисельними і аналитичними
значеннями похідної
3.4 Індивідуальне завдання до лабораторної роботи
1. Написати програмний код, для обчислення значень першої похідної, використовуючи дві різні формули диференціювання (аналітичну і чисельну).
2. Створені програми використовувати для обчислення значень похідної для функції з таблиці 3.2 на відрізку [а,b]. Порівняти набуті значення. Побудувати графіки похідних. Графік абсолютної похибки.
3. У Command Window для однієї з внутрішніх точок сітки одержати:
а) оцінку абсолютної і відносної похибки;
б) уточнене значення похідної, використовуючи правило Рунге.
Таблиця 3.2 - Варіанти індивідуальних завдань
|
№ |
f(x) |
a |
b |
№ |
f(x) |
a |
b |
|
1 |
|
2 |
5 |
12 |
|
2 |
5 |
|
2 |
|
-9 |
9 |
13 |
|
-2 |
2 |
|
3 |
|
-2 |
2 |
14 |
|
-3 |
3 |
|
4 |
|
-1 |
5 |
15 |
|
2 |
5 |
|
5 |
|
-5 |
3 |
16 |
|
-3 |
3 |
|
6 |
|
1 |
3 |
17 |
|
-1 |
4 |
|
7 |
|
0 |
4 |
18 |
|
0 |
5 |
|
8 |
|
-5 |
5 |
19 |
|
-2 |
2 |
|
9 |
|
0 |
4 |
20 |
|
-2 |
3 |
|
10 |
|
-3 |
3 |
21 |
|
0 |
4 |
|
11 |
|
0 |
4 |
22 |
|
-3 |
3 |
