2.5 Контрольні питання

1. Сформулюйте постановку завдання наближення експериментальних даних.

2. Визначення поняття емпіричної формули.

3. Чи може емпірична формула співпадати з інтерполяційною функцією?

4. Поняття відхилення ε_i.

5. Способи визначення параметрів емпіричної залежності.

6. Як визначити найкращій ступінь многочлена, що наближає?

7. З якої умови виводиться нормальна система методу найменших квадратів?

8. Вбудовані функції MatLab для вирішення завдань апроксимації табличний заданих функцій.

Лабораторна робота № 3

Чисельне диференціювання

3.1 Мета роботи.

Вивчення засобів системи MatLab і придбання практичних навиків в наближеному обчисленні похідних таблично заданої функції f(x).

3.2 Завдання до лабораторної роботи

1. Для виконання лабораторної роботи необхідно пропрацювати теоретичний матеріал представлений в розділі 8.2 електронного довідника по системі MatLab.

2. Ознайомітісь з основними теоретичними відомостями - розділ 3.3 методичних вказівок.

3. Віконаті в MatLab всі приклади, наведені в розділі 3.3. Протокол роботи зберегти у файлі LaboratoryWork3_1.txt.

4. Віконаті в MatLab індивідуальні завдання наведені в розділі 3.4.

5. Протокол виконання індивідуального завдання оформити у вигляді skript-файлу.

3.3 Короткі теоретичні відомості

3.3.1 Чисельне диференціювання функцій

Задача чисельного диференціювання полягає в наближеному обчисленні похідних функції f(x) по заданих в кінцевому числі точок значеннях цієї функції.

Нижче приводяться декілька поширених формул чисельного диференціювання для першої (r=1) і другої (r=2) похідних у вузлі (x1) сітки, побудованої з постійним кроком h, де h = ∆x - приріст незалежної змінної x.

r=1 (два вузли):

f '(x1 ) = (f2 – f1 )/h - праві різниці	(3.1)
f '(x1 ) = (f1 - f0 )/h - ліві різниці	(3.2)

r=1, n=2 (три вузла):

f '(x1 ) = (f2 - f0)/2h - центральні різниці

(3.3)

r=2, n=2 (три вузла):

f ''(x1 ) = (f0 - 2f1 + f2 )/h2

(3.4)

Приведені формули дозволяють побудувати обчислювальний алгоритм:

1. Задати значення точки, в якій обчислюється похідна.

2. Задати значення приросту аргументу - h.

3. Обчислити похідну відповідно до вибраної формули.

Похибка чисельного диференціювання

Заміна нескінченно малих приростів кінцевими є причиною виникнення помилки. Її величина є функцією приросту незалежної змінної, тобто залежить від кроку h і її записують у вигляді О(h^p). Показник ступеня р називається порядком похибки апроксимації похідної(або просто порядком апроксимації). При цьому передбачається, що значення кроку по модулю менше одиниці. Формули обчислення першої похідної функції (3.1, 3.2 ) мають перший порядок точності. Формула 3.3 - другий порядок.

Аналіз точності обчислення похідної нетривіальний, і відомості з цього питання можна знайти в більш повних курсах по чисельних методах і теорії різницевих схем. Відзначимо лише, що похибка апроксимації при зменшенні кроку h, як правило, зменшується. Не рекомендується робити h дуже малим, особливо для похідних вищих порядків - починають виявлятися похибки операцій з дійсними числами.

Оптимальна точність може бути досягнута за рахунок регуляризации процедури чисельного диференціювання. Найпростішим способом регуляризации є такий вибір кроку h, при якому справедлива нерівність Abs(f(x+h) - f(x))> ε, де ε >0 - деяке мале число, відповідне допустимій точності.