2.3.3 Вибір ступеня многочлена
Припустимо, що функцію f можна з високою точністю апроксимувати многочленом Pm(x) деякого ступеня m. Якщо цей ступінь заздалегідь невідомий, то виникає проблема вибору оптимального ступеня апроксимуючого многочлена в умовах, коли початкові дані yi містять випадкові помилки. Для вирішення цього завдання можна прийняти наступний алгоритм: для кожного m=0,1,2,… обчислюється величина
.
За оптимальне значення ступеня многочлена слід прийняти того значення m, починаючи з якого величина σm стабілізується або починає зростати.
Приклад 2.3.2 Знаходження оптимальної міри многочлена емпіричної формули.
Рішення:
% Функція задана таблицею значень. Апроксимувати її
% многочленом по МНК
% Введемо функцію (x, f(x))
x=[0,3.13,3.5,4.25,3]; y=[4.57,0.68,0.39,-3.9,-4.4];
% Вичислимо наближення з різними ступенями
p0 = polyfit(x, y, 0);
p1 = polyfit(x, y, 1);
p2 = polyfit(x, y, 2);
p3 = polyfit(x, y, 3);
% Обчислимо помилки (СКО) в квадраті
y0 = polyval(p0, x);
y1 = polyval(p1, x);
y2 = polyval(p2, x);
y3 = polyval(p3, x);
err0 = 1 / (4 - 0) * sum((y - y0) .^ 2);
err1 = 1 / (4 - 1) * sum((y - y1) .^ 2);
err2 = 1 / (4 - 2) * sum((y - y2) .^ 2);
err3 = 1 / (4 - 3) * sum((y - y3) .^ 2);
% Порівнюючи, бачимо що кращу точність дає n = 1
err0 = 13.0956
err1 = 0.1308
err2 = 0.1962
err3 = 0.1803
2.4 Індивідуальні завдання до лабораторної роботи
1. Для експериментальних даних вашого варіанту (таблиця 2.2) обчислити коефіцієнти емпіричної формули, яка представлена многочленом ступеня m, для m=1,2,3,4.
2. Знайти значення многочленів в заданих точках, абсолютну похибку в них і среднеквадратическую похибку, зробити висновок про оптимальне значення ступеню многочлена m, побудувати графіки, порівняти отримані результати.
3. Вирішити завдання апроксимації эспериментальных даних вашого варіанту вбудованими функціями пакету MatLab. Самі функції і правила їх використання знайти в HELP.
Таблиця 2.2 - Варіанти індивідуальних завдань
|
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.25 |
0.7788 |
3.284 |
0.2474 |
0.2526 |
3.031 |
0.2449 |
0.2553 |
|
0.31 |
0.7334 |
3.363 |
0.3051 |
0.3150 |
3.048 |
0.3004 |
0.3203 |
|
0.36 |
0.6977 |
3.433 |
0.3523 |
0.3678 |
3.066 |
0.3452 |
0.3764 |
|
0.39 |
0.6771 |
3.477 |
0.3802 |
0.4000 |
3.077 |
0.3714 |
0.4111 |
|
0.43 |
0.6505 |
3.537 |
0.4169 |
0.4434 |
3.094 |
0.4053 |
0.4586 |
|
0.47 |
0.6250 |
3.600 |
0.4529 |
0.4875 |
3.112 |
0.4382 |
0.5080 |
Продовження таблиці.2.2
|
№ |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.24 |
3.2711 |
0.2355 |
3.029 |
0.7866 |
0.2423 |
0.2447 |
0.2374 |
|
0.26 |
3.297 |
0.2544 |
3.034 |
0.7711 |
0.2629 |
0.2660 |
0.2571 |
|
0.27 |
3.310 |
0.2637 |
3.037 |
0.7634 |
0.2733 |
0.2768 |
0.2667 |
|
0.29 |
3.336 |
0.2823 |
3.042 |
0.7483 |
0.2941 |
0.2984 |
0.2860 |
|
0.30 |
3.350 |
0.2915 |
3.045 |
0.7408 |
0.3045 |
0.3093 |
0.2955 |
|
0.32 |
3.377 |
0.3097 |
3.052 |
0.7261 |
0.3255 |
0.3314 |
0.3146 |
Продовження таблиці.2.2
|
№ |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2 |
0.0792 |
0.1823 |
3.063 |
0.3012 |
3.492 |
0.6703 |
|
3.3 |
0.1139 |
0.2624 |
3.091 |
0.2725 |
3.935 |
0.5169 |
|
3.4 |
0.1461 |
0.3365 |
3.119 |
0.2466 |
4.293 |
0.4350 |
|
3.6 |
0.2041 |
0.4700 |
3.170 |
0.2019 |
3.561 |
0.2800 |
|
3.7 |
0.2304 |
0.5306 |
3.193 |
0.1827 |
3.935 |
0.2541 |
|
3.9 |
0.2788 |
0.6419 |
3.239 |
0.1496 |
4.055 |
0.2466 |
