2.3.2 Побудова емпіричної формули

Побудова емпіричної формули складається з двох етапів:

підбір загального вигляду формули;
визначення найкращих значень параметрів, що містяться у формулі.

Іноді загальний вигляд формули відомий з фізичних або інших міркувань. У інших випадках вигляд може бути довільним, перевага віддається найбільш простим формулам, які можуть вибиратися з геометричних міркувань, після нанесення експериментальних точок на координатну площину і порівняння отриманої кривої з графіками відомих функцій.

Підбір загального вигляду емпіричної формули

Проста емпірична формула

Про застосовність цієї формули можна судити по величинах . Якщо k_i const , то формула може бути застосована.

У ряді випадків до лінійної залежності можуть бути зведені експериментальні дані, коли їх графік в декартовій системі координат не є прямою. Це може бути досягнуто шляхом введення нових змінних : u=φ(x,y), v=z(x,y), які вибираються так, щоб точки u_i, v_i лежали на прямій. Таке перетворення називається вирівнюванням(лінеаризацією) даних, в результаті отримуємо лінійну залежність u=a v + b.

Наприклад, ступенева залежність y=c•x^A, логарифмуванням перетворюється до виду:

ln(y) = A ln(x) + ln(c).

Зробивши заміну змінних і постійної

X=ln(x), Y=ln(y), b=ln(c)

перейдемо до лінійної залежності

Y=A X + b.

Іншою простою емпіричною формулою є квадратний тричлен:

y = ax² + bx + c.

В загальному випадку, коли ми нічого не знаємо про фізичний характер шуканої залежності, можна використовувати поліном ступеня m:

y = a₀ + a₁x + a₂x²+ … + a_mx^m.

Визначення параметрів емпіричної залежності методом найменших квадратів

Вважатимемо, що тип емпіричної формули вибраний і її можна представити у виді

y = g(x, a₀, a1, ..., am),

де g - відома функція, a₀, a₁, …, a_m - невідомі постійні параметри. Завдання полягає в тому, щоб визначити такі значення цих параметрів, при яких емпірична формула дає добре наближення данної функції, значення якої в точках x_i дорівнює y_i(i=1, 2,…, n) (таблиця.2.1).

Позначимо через ε_i відхилення - різниця між значеннями емпіричної формули і функції, яку необхідно визначити, у вузлах x_i. Тоді

ε_i= g(x, a₀, a₁, …, a_m) - y_i, i=0, 1, … , n.

Задача знаходження найкращих значень параметрів a₀, a₁, …, a_m зводиться до деякої мінімізації відхилень ε_i. Існує декілька способів рішення цієї задачі. Ми зупинимося на одному - методі найменших квадратів : застосування критерію найменших квадратів призводить до визначення параметрів, які необхідно визначити, з умови мінімуму суми квадратів відхилень:

Використовуючи необхідну умову екстремуму,

, k=0,1, …,m,

отримуємо так звану нормальну систему методу найменших квадратів :

, k=0,1, …, m.

Отримана система - є система алгебраїчних рівнянь відносно невідомих a0, a1, ., am . Можна показати, що визначник цієї системи відмінний від нуля, тобто рішення існує і єдино. Проте при високих ступінях m система є погано обумовленою. Тому метод найменших квадратів застосовують для знаходження многочленів, ступінь яких не вище 5. Рішення отриманої системи можна знайти, наприклад, методом Гауса.

Запишемо нормальну систему найменших квадратів для двох простих випадків: m=0 і m=2. При m=0 емпірична формула набере вигляду: g(x)=a₀. Для знаходження невідомого коефіцієнта a₀ маємо рівняння:.Отримуємо, що коефіцієнт є середнє арифметичне значень функції в заданих точках.

Якщо ж використовується многочлен другого ступіня , те нормальна система рівнянь набере вигляду:

Вирішуючи цю систему лінійних рівнянь, отримуємо коефіцієнти a₀, a₁, …, a_m , многочлена, які є параметрами емпіричної формули, що необхідно визначити.