1.4 Індивідуальні завдання до лабораторної роботи

1. Для функції вашого варіанту (таблиця 1.2) y=f(x) на [a, b] побудувати таблицю значень {xi, yi} i=0,1,. n. Кількість вузлів інтерполяції n задайте самостійно, наприклад n=4.

2. Провести інтерполяцію(відомими вам способами) отриманої табличної функції на дрібнішій сітці, наприклад при 40 значеннях аргументу х інтервалу [a, b].

3. Побудувати графіки:

• вихідної функції (колами),

• результату інтерполяції в проміжних точках,

• точні значення функції в проміжних точках,

• різниця між точними і інтерпольованими значеннями функції.

4. Виконати розрахунки для n=12,20,40.

5. Оцінити залежність похибки інтерполяції від порядку інтерполяційного многочлена.

6. Вирішити задачу інтерполяції для функції f(x)=sin(x), задану таблично в 5 точках, використовуючи вбудовану функцію interp1() пакету MatLab.

Таблиця 1.2 - Початкові функції

Номер варіанта	f(x)	a	b
1		2	5
2		-9	9
3		-2	2
4		-1	5
5		-5	3
6		1	3
7		0	4
8		-5	5
9		0	4
10		-3	3
11		0	4

Продовження табл. 1.2

12		2	5
13		-2	2
14		-3	3
15		2	5
16		-3	3
17		-1	4
18		0	5
19		-2	2
20		-2	3
21		0	4
22		-3	3

1.5 Контрольні питання

1. Поняття наближення функції.

2. Дати визначення наступних понять: апроксимація функції, апроксимація-інтерполяція, єкстраполяція, глобальна та локальна интерполяція, вузли інтерполяції.

3. Чисельні методи інтерполяції.

4. Проведення інтерполяції в системі MatLab.

Лабораторна робота №2

Апроксимація експериментальних даних

2.1 Мета роботи

Вивчити підхід до рішення задачі про середньоквадратичне наближення функції, заданої таблично. Набути практичних навичок побудови емпіричної формули в пакеті MatLab.

2.2 Завдання до лабораторної роботи

1. Познайомитися зі змістом розділу 2.3 "Основні теоретичні відомості" і виконати приклади 2.1, 2.4.

2. Запрограмувати метод найменших квадратів для наближення функції, заданої таблично n точками.

3. Виконати індивідуальне завдання (розділ 2.4).

4. У звіті наведіть тексти написаних програм, протокол роботи і результати роботи при виконанні кожного пункту завдання.

2.3 Основні теоретичні відомості

2.3.1 Постановка задачі апроксимації єкспериментальних даних.

Нехай в результаті вимірів отримана таблиця деякої залежності f(x) (табл, 2.1).

Таблиця 2.1 - Вихідні дані для задачі апроксимації экспери-ментальных даних

x	x0	x1	…	xn
f(x)	y0	y1	…	yn

Необхідно знайти формулу, що виражає цю залежність аналітично. Один з підходів до рішення задачі апроксимації табличної функції полягає в побудові інтерполяційного многочлена, значення якої будуть в точках x₀, x₁, x₂, …, x_n, співпадати з відповідними значеннями f(x) з таблиці.2.1. Проте при обробці експериментальних даних треба мати на увазі помилки цих даних. Ці помилки діляться на три категорії:

• систематичні,

• випадкові,

• грубі.

Систематичні помилки можуть бути викликані умовами експерименту, дефектами апаратури і тому подібне. Зазвичай вони дають відхилення в один бік від точного значення вимірюваної величини. Ці помилки можна усунути наладкою апаратури або вступом відповідних поправок.

Грубі помилки явно спотворюють результати вимірів, вони надмірно великі і зазвичай пропадають при повторенні досвіду. Виміри з такими помилками відкидаються і не враховуються при обробці результатів.

Випадкові помилки визначаються великим числом чинників, які не можуть бути усунені, або досить точно враховані при вимірах і обробці результатів. Вони мають несистематичний характер і дають відхилення в ту і в іншу сторону при повторенні вимірів.

Таким чином в дослідних даних завжди є випадкові помилки. І завдання апроксимації експериментальних даних полягає в тому, щоб знайти функцію, значення якої при вибраних параметрах мало відрізняються від дослідних даних. Така функція називається емпіричною формулою.

Графік емпіричної залежності, взагалі кажучи, не проходить через задані точки. Це призводить до того, що експериментальні дані в деякій мірі згладжуються, а інтерполяційна формула повторила б усі помилки, які є в початкових даних.