5.3.4 Рішення задачі Коші в MatLab

У MATLAB є ряд функцій для вирішення задачі Коші. Одна з них - ode45 - використовує метод Рунге-Кутта четвертого-п'ятого порядку точності з автоматичним вибором розміру кроку. Звернення до ode45 виконується таким чином (синтаксис приведений для версії 3.Х) : [T,Y] = ode45(ODEFUN,TSPAN,Y0)

Вхідні параметри процедури ode45 :

- ODEFUN - ім'я функції (у вигляді строкової змінної), задаючої праву частину системи диференціальних рівнянь. Рівняння мають бути записані в нормальній формі u' = ODEFUN(T, Y), де u' - обчислюваний вектор-стовпець похідних;

- TSPAN = [T0 TFINAL] - вектор, задаючий інтервал зміни незалежної змінної. T0 - початкова точка, TFINAL - останнє значення аргументу, при якому завершується розрахунок;

- Y0 - вектор початкових значень залежних змінних.

Вихідні параметри ode45 :

- T - вектор, що містить відліки аргументу в точках рішення;

- Y - масив, що містить вичислені значення u і u' в точках, відповідних відлікам незалежної змінної в T.

Вимоги до точності і інші параметри чисельного рішення задаються в MATLAB за умовчанням. Змінити ці налаштування дозволяє додатковий аргумент OPTIONS (см help ODESET).

Окрім розглянутої функції ode45 MATLAB містить ряд інших функцій для вирішення завдання Коші – см. ode23, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb.

5.4 Індивідуальні завдання до лабораторної роботи

1. Розглянути задачу, що полягає в пошуку рішення звичайного диференційного рівняння для x від x₀ до x_k з кроком ∆x за початкової умови y(x₀)=y₀ (задачу Коші). З'ясуйте можливість аналітичного рішення задачі.

2. Написати функції для вирішення задачі Коші методами Ейлера та Рунге-Кутта .

3. Згідно з індивідуальним завданням знайти рішення задачі Коші з фіксованим кроком ∆х (значення ∆х візьміть рівним п'ятій долі інтервалу інтеграції), використовуючи вказані методи. Побудувати графіки отриманих рішень.

4. Порівняти точність методів.

5. Будь-яким з вищезгаданих методів знайдіть рішення із заданою точністю в системі подвійного прорахунку і зіставте з рішенням, отриманим в п. 3. Побудуйте графік похибок.

6. Виконаєте рішення задачі в середовищі MatLab стандартними засобами (наприклад, функцією odе45); намалюйте графік знайденого рішення.

Таблиця 5.1 - Варіанти індивідуальних завдань

Варіант	Рівняння	Інтервал
1	y'=-2x(y+1) y(0)=1	[0,1]
2	y'=-x/y y(0)=1	[0,1]
3	y'=0.5*(y-1)/x y(1)=2	[1,2]
4	y'=2y/x y(1)=1/2	[1,2]
5	y'=2y/(3(x-1)) y(2)=1	[2,3]
6	y'=-(y+1)/x y(1)=1	[1,2]
7	y'=-2(y+1)/x, y(1)=0	[1,2]
8	y'=-y+1, y(0)=-1	[0,1]
9	y'=1/(x-2) y(3)=1	[3,4]
10	y'=-2(x-1)y y(1)=2	[1,2]
11	y'=-(x-1)/y y(0)=1	[0,1]
12	y'=0.5y/(x-1) y(2)=0.5	[2,3]
13	y'=-y(y+1) y(0)=1	[0,1]

Продовження таблиці 5.1

14	y'=y^2, y(0)=-1	[0,1]
15	y'=0.5 / x y(1)=1	[1,2]
16	y'=y/(2x) y(1)=1	[1,2]
17	y'=y y(0)=1/4	[0,1]
18	y'=3/2x y(0)=-1	[0,1]
19	y'=y^2/x^2, y(1)=0.5	[1,2]
20	y'=-y^2/(2x) y(1)=1	[1,2]
21	y'=2y/(x-1)^2, y(0)=1	[0,1]
22	y'=-3y/(x+1), y(0)=2	[0,1]