3.3 Аналогія величин і рівнянь поступального і обертального руху. Кінетична енергія обертання тіла

Таблиця 3.1

Поступальний рух	Обертальний рух
S - шлях	φ – кут повороту
aτ –дотичне прискорення	ε – кутове прискорення
m - маса	J – момент інерції
F - сила	М – момент
P=mV - імпульс	L=Jω – момент імпульсу
- робота	- робота
- потужність	- потужність
- 2-й з-н Ньютона	- осн. рівняння дин. оберт. руху.
- кінетична енергія поступального руху	- кінетична енергія обертання тіла

Доведемо останню формулу. Кінетична енергія ∆Е_кі елементу тіла ∆m_i дорівнює . Ми врахували зв’язок лінійної і кутової швидкостей. Кінетичну енергію обертання всього тіла знайдемо як суму кінетичних енергій усіх його елементів, врахувавши (3.6), тобто. (3.9)

Якщо тіло не тільки обертається, а ще і його центр маси рухається поступально з швидкістю V, наприклад, котиться колесо, то кінетична енергія дорівнює сумі поступальної і обертальної складових

. (3.10)

3.4 Розрахунок моментів інерції деяких тіл. Теорема Штейнера

Момент інерції тіла залежить не тільки від маси тіла, а і від її розподілу відносно осі обертання. Тому одне і теж тіло має різні моменти інерції відносно різних осей обертання. Розглянемо ряд прикладів розрахунку моменту інерції, користуючись його означенням (3.6).

a) момент інерції матеріальної точки . Задана маса тіла m і радіус обертання R (рис.3.5). Знайти J.

Згідно з означенням (3.10) момент інерції .

У нашому випадку r = R = const.

Тому . (3.11)

б) момент інерції обруча (труби) відносно осі, яка проходить через його центр і перпендикулярна площині обруча. Задана маса m і радіус обручаR (рис.3.6). Знайти J.

. r = R = const.

Тому . (3.12)

в) Момент інерції диска (циліндра) відносно осі, яка співпадає з віссю циліндра. Задана маса диска m і його радіус R (рис.3.7). Знайти J.

. Виберемо елемент dm у вигляді труби радіусом r з товщиною стінки dr і довжиною b, яка дорівнює товщині диска (висоті циліндра). Маса цієї труби . Густина. Тому маємо

.

Таким чином, момент інерції обруча (циліндра) . (3.13)

Порівнюючи з обручем (трубою) маса диска (циліндра) розподілена в цілому ближче до осі обертання. Тому і одержаний момент інерції менший.

г) момент інерції довгого тонкого стержня відносно осі, яка перпендикулярна до нього і проходить через середину стержня. Задані маса m стержня і його довжина (рис.3.8). Знайти J.

Виберемо елемент dm у вигляді частини стержня довжиною dr, який віддалений від осі обертання на відстань r. Його маса dm порційна довжині і дорівнює . Момент інерції стержня

. (3.14)

д) момент інерції кулі відносно діаметра. Задана маса m і радіус R. Момент інерції кулі . (3.15)

Для розрахунку моментів інерції тіл відносно осей, які не проходять через центр маси тіл (рис.3.9), застосовуєтьсятеорема Штейнера: момент інерції J тіла відносно будь-якої осі дорівнює сумі моменту інерції J_o цього тіла відносно осі, яка проходить через центр маси О тіла та паралельна заданій, і добуткові маси m тіла на квадрат відстані d між цими осями

. (3.16)

Впевнимося у справедливості цієї теореми на прикладі розрахунку моменту інерції довгого стержня відносно осі, яка перпендикулярна до стержня і проходить через його край (рис.3.10). Безпосереднє інтегрування, як і у прикладіг) дає

.

За теоремою Штейнера, враховуючи (3.14), одержуємо

. (3.17)

такий же результат, як і безпосереднім інтегруванням.