5. Задачі для самостійного розв’язку

Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. - М.: Наука, 1969.

Задачі №: 2.15; 2.42; 2.51; 2.65; 2.80; 2.84.

Гаркуша І.П. та ін. Загальний курс фізики. Збірник задач. К. ”Техніка”. 2003

Задачі №: 1.202; 1.204; 1.237; 1.244; 1.246; 1.247.

3. Динаміка обертального руху

1. Обертальний рух твердих тіл. Абсолютно тверде тіло. Момент сили. Пара сил

При вивченні обертального руху тіл зручно ввести таку ідеалізацію, як абсолютно тверде тіло. Це такі тіла, в яких не виникають деформації, які б сили на нього не діяли. Зручність полягає в тому, що радіус обертання для таких тіл не змінюється, а отже і зв’язок між кутовими і лінійними характеристиками буде однозначним (як відомо він здійснюється через радіус). Тому для вивчення обертального руху тіла досить знайти кутові характеристики однієї його точки.

Результат дії мимобіжної з віссю обертання сили F (рис.3.1) на тіло, яке має нерухому вісь обертання, залежить не тільки від величини сили, а і від точки її прикладання та напрямку дії. Дійсно, сила паралельна осі обертання намагається зрушити його вздовж осі, а не повернути. Сила, яка перетинає вісь, намагається її зігнути і не приводить тіло в обертальний рух. Ці сили врівноважуються силами реакції опори осі. Сила ж, яка не проходить через вісь обертання і не паралельна їй приводить тіло в обертальний рух. В цьому випадку мірою дії сили на рух тіла є не сама сила, а її момент.

Моментом силиназивається векторний добуток радіус-вектораточки прикладення сили (рис.1) і сили, проекції силина площину, перпендикулярну до осі обертання

. (3.1)

Цей вектор направлений вздовж осі обертання у відповідності з правилом правого гвинта: при обертанні правого гвинта разом з тілом вектор співпадає з поступальним рухом гвинта, в нашому випадку вгору.

Розкриваючи векторний добуток, і враховуючи, що

, одержуємо

. (3.2)

Тут р – плече сили – це довжина перпендикуляра, опущеного з осі обертання на напрямок дії сили .

Парою сил називають дві паралельні протилежно направлені однакові за величиною сили.

Моментом пари сил називають добуток однієї з сил на плече пари, тобто на відстань р між лініями дії сил (рис.3.2). Момент пари сил не залежить від наявності чи відсутності осі обертання і положення. Дійсно, враховуючи , що моменти сил F₁ і F₂ протилежно направлені (рис.3.3) і , результуючий момент буде дорівнювати

. (3.3)

2. Основне рівняння динаміки обертального руху

Нехай деяке тіло може обертатись навколо закріпленої осі. Виділимо елемент ∆m_i цього тіла, положення якого задається радіус-вектором (рис.3.4). На цей елемент діють зовнішні силиі внутрішні сили, тангенціальні складові якихінадають йому дотичного прискорення. Записуємо другий закон Ньютона для цього елементу

. (3.4)

Щоб перейти до моментів сил, рівняння (4) векторно домножаємо на радіус-вектор

. Так як , маємо

. (3.5)

Звернемо увагу, що кутове прискорення не має індексу і тому що воно

для всіх точок тіла однакове.

Скориставшись формулою подвійного векторного добутку

, спростимо праву частину (3.5)

, тому що радіус-вектор і кутове прискорення взаємно перпендикулярні. Візьмемо суму по всьому об’єму тіла

. Тут перший доданок є векторна сума моментів зовнішніх сил, які діють на тіло, , другий доданок – це векторна сума внутрішніх сил. Вона дорівнює нулю, так як в противному випадку елемент ∆m_i рухався б відносно інших елементів. А це означало б можливість деформації тіла, що ми виключили, ввівши поняття абсолютно твердого тіла. Отже .

Вираз , або(3.6)

залежить від розподілу маси тіла відносно осі обертання і називається моментом інерції тіла. Це міра інертності тіла в обертальному русі, аналог маси в поступальному русі. Вимірюється момент інерції в кг∙м². Таким чином, основне рівняння динаміки обертального руху набуває виду

. (3.7)

Враховуючи, що , рівняння (3.7) прийме вид

. (3.8)

Величина , яка дорівнює добутку моменту інерції на кутову швидкість, називаєтьсямоментом імпульсу (аналог імпульсу у поступальному русі).

Якщо система замкнута, тобто сума моментів зовнішніх сил дорівнює нулю, то момент імпульсу системи не змінюється (зберігається). Це є закон збереження моменту імпульсу, який аналогічний закону збереження імпульсу в поступальному русі.