6. Степені вільності молекул. Розподіл енергії по степеням вільності. Внутрішня енергія ідеального газу

Числом степенів вільності називається мінімальна кількість незалежних величин, якими можна однозначно задати положення системи у просторі.

Для матеріальної точки (молекула одноатомного газу) у просторі достатньо задати три координати x, y, z. Ці координатні степені вільності називаються поступальними. Для двохатомної жорсткої молекули можна задати 6 координат її атомів. Але вимога мінімальності приводить до того, що положення такої молекули задають трьома координатами одного із атомів і двома кутами (рис.5.6): меридіальний θ і азимутальний φ. Ці кутові степені вільності називаються обертальними. Всього одержали

, а не 6 поступальних. Для двоатомної нежорсткої молекули, коли відстань між атомами може змінюватись, що має місце при досить високих температурах, тобто коли атоми коливаються, потрібно задати ще одну степінь вільності. Вона називається коливальною. Одержуємо

.

Для трьохатомної жорсткої молекули необхідно задати, як і

для двохатомної жорсткої молекули, три координати одного атома і три кути (рис.5.7). Третій кут γ задає орієнтацію площини молекули. Одержуємо

. У випадку нежорсткої трьохатомної молекули необхідно задати ще 3 відстані між атомами – 3 коливальні степені вільності. Всього буде 9. Із збільшенням кількості атомів буде зростати кількість коливальних степенів вільності, а поступальних і обертальних буде по 3. Таким чином, система із N частинок має

степенів вільності.

Кінетична енергія по степеням вільності розподіляється рівномірно, тобто на кожну поступальну і обертальну степінь припадає енергія , а на коливальну(на кінетичну енергію коливань атомів у молекулі,на потенціальну енергію їх взаємодії). Кількість половинокkT теплової енергії молекули позначимо буквою і. Тоді

. (5.9)

Досить часто мають справу з невисокими температурами, коли коливальні степені ще не збуджуються. Тоді число і дорівнює числу n кількості степенів вільності. Тому досить часто число і називають кількістю степенів вільності.

Середня теплова енергія молекули, яку розглядають не як матеріальну точку, включає не тільки поступальну енергію, а й обертальну та коливальну. Тому . (5.10)

Внутрішня енергія ідеального газу складається тільки із кінетичної енергії молекул, потенціальна енергія їх взаємодії між собою дорівнює нулю

Отже, , (5.11)

де: N_A – число Авогадро, m – маса газу, μ – молярна маса, k – стала Больцмана, R – газова стала, Т – абсолютна температура.

Вираз (5.11) показує, що внутрішня енергія даної кількості газу залежить тільки від температури.

7. Робота газу при ізопроцесах

Нехай газ, який знаходиться в циліндрі під поршнем площеюS, розширюючись, переміщує його на відстань dx (рис.5.8). Тиск газу Р. За означенням елементарна механічна робота дорівнює

, (5.12)

а загальна робота . (5.13)

Графічно в координатах Р-V робота газу дорівнює площі криволінійної трапеції, яка обмежена графіком процесу, віссю об’єму V і лініями V₁ = const, V₂ = const (рис.5.9).

Знайдемо роботу газу при різних ізопроцесах:

Ізохорний. Так як V = const, dV = 0. Тому dA_V =0 і

А_V = 0 (5.14)

Ізобарний. Р = const. Взявши до уваги рівняння (4.6) Клапейрона-Менделєєва, одержимо

(5.15)

Ізотермічний. Т = const.

. (5.16)