3. Середня енергія поступального руху молекул.

Підставимо тиск (4.13) в рівняння (4.6) Клапейрона-Менделєєва

. Враховуючи що nV = N, а , знаходимо середню енергію поступального руху молекули

. (4.14)

Тут: N_A = 6,02∙10²³ 1/моль –число Авогадро, – стала Больцмана.

Підстановка (4.14) в (4.13) дає такий вираз основного рівняння молекулярно-кінетичної теорії:

. (4.15)

Видно, що тиск газу не залежить від маси (типу) молекул, а визначається тільки їх концентрацією і температурою. Тому очевидним стає закон Дальтона .

3. Поняття про функцію розподілу. Функція розподілу Максвелла

Для вирішення задачі молекулярно-кінетичної теорії – знаходження середніх значень фізичних величин, використовується статистичний метод, в основі якого лежить поняття функції розподілу молекул за різними фізичними величинами. Розглянемо цей метод на прикладі швидкостей молекул. Ясно, що при хаотичному русі вони за величиною будуть самими різними - від нуля до нескінченності. Але кількість молекул з дуже малими і дуже великими швидкостями буде невеликою. Дійсно, ймовірність того, що якась молекула при зіткненні з другими молекулами буде або тільки віддавати частину свого імпульсу (зменшувати швидкість), або тільки одержувати (збільшувати швидкість), мала. Деяке значення швидкості буде зустрічатись найчастіше, тобто її мають більшість молекул. Ця швидкість називається найбільш імовірною. Отже функція Максвелла розподілу молекул за швидкостями має екстремум (максимум) (рис.4.5)

_{. (4.16)}

Вона показує ймовірність того, що значення швидкості потрапляє в інтервал від V до V+1, тобто в одиничний інтервал швидкостей. Тому її називають густиною ймовірності.

Функція (4.17)

називається повною статистичною функцією розподілу. Вона дає можливість знайти кількість молекул, які мають значення швидкості в певному інтервалі швидкостей від V₁ до V₂ шляхом інтегрування

. (4.18)

Ясно, що інтеграл (4.18) у всьому можливому діапазоні швидкостей дає загальну кількість молекул N, тобто

. (4.19)

Це умова нормування функції розподілу. Останній вираз означає, що ймовірність виявити будь-яке значення швидкості, тобто в інтервалі від 0 до ∞, дорівнює 1. Умова (19) дає можливість знайти коефіцієнт А функції (16) і нормовану функцію Максвелла

. (4.20)

3. Швидкості молекул. Правило статистичного усереднення

Хаотичний тепловий рух молекул характеризується трьома швидкостями: найбільш ймовірною, середньою арифметичною і

середньою квадратичною.

Найбільш ймовірну швидкістьV_н.й мають більшість молекул. Це значення аргументу, яке відповідає максимуму функції (4.16). Знайдемо її, дослідивши функцію Максвелла (4.16) на екстремум.

. .

. Після спрощень маємо . (4.21)

Тут враховано що .

Знайдемо середню арифметичну швидкість V_{ср. ар.} з таких міркувань: швидкість V₁ мають ∆N(V₁) молекул;

швидкість V₂ мають ∆N(V₂) молекул;

------------------------------------------------

швидкість V_k мають ∆N(V_k) молекул.

Середня арифметична швидкість

,

або з врахуванням (4.17) одержуємо

. (4.22)

Одержане співвідношення називається правилом статистичного усереднення. Так знаходяться середні значення фізичних величин при відомій функції розподілу по цій фізичній величині. Наприклад, середня енергія може бути знайдена за виразом

.

Розрахуємо середню арифметичну швидкість, скориставшись (4.22) і (4.20).

.

Після заміни аргументу інтегрування ,

. Інтегрування по частинам дає

. Одержуємо

. (4.23)

Знайдемо середню квадратичну швидкість V_ср.кв – це квадратний корінь із середнього значення квадратів швидкостей

.

Аналогічно попередньому, інтегрування по частинам, дає

. (4.24)

Можна середню квадратичну швидкість знайти простіше, знаючи середню енергію поступального руху молекул (4.14) і означення (4.12) середньої квадратичної швидкості.

.

Видно (4.21), (4.23) і (4.24), що всі характерні швидкості відрізняються числовими коефіцієнтами і зі збільшенням температури зростають пропорційно .