1.1.5 Диференціальне числення функції багатьох змінних.

Функція – функція двох змінних і . Областю визначення функції є деяка множина точок площини ( може бути вся площина, або частина площини, обмежена певними лініями ). Існують частинні похідні функції першого порядку по : та по : . При знаходженні похідної по певній змінній всі інші змінні вважаємо сталими. Правила диференціювання і таблиця похідних такі ж самі, як для функції однієї змінної. Частинні похідні першого порядку є функціями двох змінних. Їх можна диференціювати. Дістанемо другі частинні похідні: , , . При цьому , тобто .

Повний диференціал функції обчислюється за формулою:

Похідна складеної функції: а) функція залежить від двох змінних та , кожна з яких, в свою чергу, є функцією змінної : , , тоді ;

б) маємо функцію , де , тоді ;

в) маємо функцію , де , , тоді і .

Функція є неявно заданою, якщо рівняння не може бути розв’язане відносно . Тоді частинні похідні цієї функції визначаються формулами:

і .

Нехай задано поверхню . Точка належить цій поверхні і функція диференційована в ній. Рівняння дотичної площини, яка проходить через точку , має вигляд: . Рівняння нормалі, яка проходить через точку , має вигляд: Якщо рівняння поверхні задано в явній формі , то поклавши , можна застосувати наведені вище формули.

Якщо функція має екстремум в точці , то в цій точці частинні похідні першого порядку по змінних та дорівнюють нулю або не існують. Точка, що задовольняє цим умовам, називається критичною, наприклад, . Вона буде екстремальною, якщо

. Якщо , то точка не экстремальна. У випадку, коли , необхідне додаткове дослідження.

Задача 25. Знайти і побудувати область визначення функції:

Розв’язання: Функція визначена при , або. Функціяіснує, якщо, тобто у двох випадках:

при і при. Звідки область визначення всієї функції:

і

Побудуємо область визначення функції.

Задача 26. Знайти частинні похідні першого порядку для функції

Розв’язання: При знаходженні похідної по певній змінній всі інші змінні вважаємо сталими.

Задача 27. Довести, що функція задовольняє заданому рівнянню.

Розв’язання:

Підставимо знайдені похідні в рівняння:

Задача 28. Знайти перші частинні похідні неявно заданої функції

Розв’язання: Маємо , де

. Знайдемо похідні

,

,

.

,

.

Задача 29. Знайти перші похідні складної функції.

Розв’язання: Знайдемо похідні:

,

, .

Маємо:

Задача 30. Знайти повний диференціал функції:

Розв’язання: Знайдемо перші частинні похідні: . Тоді

Задача 31. Скласти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні в точці .

Розв’язання: Запишемо рівняння площини в неявному вигляді:

. Знайдемо частинні похідні в точці М₀



Підставимо в рівняння дотичної площини знайдені значення. Матимемо: або

і відповідно рівняння нормалі:

.

Задача 32.Дослідити на екстремум функцію:

Розв’язання: Область визначення функції – вся числова площина . Обчислимо частинні похідні функції:

. Знайдемо критичні точки. Розв’яжемо систему: .

Розв’язком будуть дві точки і . Обидві точки належать області визначення. Обчислимо частинні похідні другого порядку даної функції: . Знайдемо їх значення в точках і : ,, і ,, . Покладемо .

В точці : . Отже, екстремуму немає. В точці : . Отже, екстремум є. Так як , то в точці функція має мінімум. Мінімум функції

.