1.1.3 Елементи аналітичної геометрії.

Розглянемо декартову прямокутну систему координат на площині. Точки в цій системі визначаються двома координатами: – абсциса та – ордината: . Дві точки і з’єднані прямою утворюють відрізок , довжина якого визначається формулою: . Якщо точка належить відрізку і ділить відрізок у відношенні , а саме , то координати її визначаються формулами: і. Якщо =1, то і.

Пряма може бути задана рівняннями: а) з кутовим коефіцієнтом , де- кутовий коефіцієнт,, - кут, який пряма утворює з додатнім напрямком вісі , а – відрізок, який пряма відтинає на вісі ; б) загальне рівняння прямої ,; в) рівняння прямої, яка проходить через точку , визначається ; г) якщо дві точки і належать прямій, то рівняння її . Умова паралельності прямих які мають відповідно кутові коефіцієнти , . Умова перпендикулярності цих прямих: . Кут між цими прямими визначається формулою: , де через позначають коефіцієнт прямої, яку повертають проти руху стрілки годинника до збігу з другою прямою. Відстань від точки до прямої , заданої рівняння , визначається формулою:.

До ліній другого порядку належать наступні: а) коло з центром в точці та радіусом : ; б) еліпс з центром в точці та півосями та : ; в) гіпербола з центром в точці , півосями та і асимптотами визначається формулою; г) парабола з вершиною в точці визначається формулою: або , де – параметр.

Рівняння лінії може бути задане в полярній системі координат: , де - кут. Перехід від декартової системи координат до полярної системи координат здійснюється за формулами: і. Перехід від полярної системи координат до декартової системи координат здійснюється за формулами: та.

Розглянемо декартову прямокутну систему координат у просторі. Точки в цій системі визначаються трьома координатами: – абсциса, – ордината та – апліката: . Довжина відрізка у просторі та поділ відрізка в заданому відношенні визначається аналогічними формулами як для площини з урахуванням аплікати.

Площина у просторі характеризується нормальним вектором , який перпендикулярний до площини.Площина у просторі задається рівняннями: а) рівняння площини, якій належить точка , визначається

; б) загальне рівняння ; в) рівняння площини, якій належать точки, , , визначається формулою ;г) рівняння площини у відрізках , де а,b,c – відрізки, які площина відтинає відповідно на осях , , , враховуючи їх знаки; д) рівняння пучка площин

. Умова паралельності двох площин: івизначається: . Умова перпендикулярності цих площин: . Кут між цими площинами визначається формулою:

.

Відстань від точки до площини визначається формулою

.

Пряма у просторі характеризується напрямним вектором , який паралельний прямій.Пряма у просторі задається рівняннями: а) канонічні рівняння прямої: , де точка належить прямій; б) параметричні рівняння прямої: ; в) рівняння прямої, якій належать дві точки і визначається формулою: ; г) пряма, як перетин двох площин і, визначається формулою:. Кут між двома прямими з напрямними векторамиівизначається формулою: . Умова паралельності двох прямих: , умова перпендикулярності двох прямих: .

Кут між прямою з напрямним вектором і площиноюз нормальним векторомвизначається формулою: . Якщо пряма і площина перпендикулярні, то . Якщо пряма і площина паралельні, то .

Задача 10. Дані вершини трикутника : , , . Знайти: а) Довжину та рівняння сторони , б) Довжину та рівняння висоти, проведеної з вершини , в) Рівняння прямої, проведеної через точку паралельно стороні , г) Рівняння середньої лінії, яка з'єднує сторони і , д) Кут при вершині . Зробити рисунок.

Розв’язання: Зробимо рисунок:

5

B

0

K

1

а) Рівняння :

; ()

Довжина :

б) Висота і сторона перпендикулярні, тому . З рівняння маємо , тоді. Для прямої відомі координати точки і кутовий коефіцієнт. Рівняння :

Довжина висоти – це відстань від точки до прямої :

в) Пряма , що проходить через точку , паралельна стороні . Їх кутові коефіцієнти рівні: . Отримаємо її рівняння:

( )

г) Середня лінія проходить через середини сторін і . Нехай це точки і відповідно. Знайдемо їх координати:

Рівняння середньої лінії :

д) Щоб утворити кут , треба пряму повернути проти стрілки годинника до збігу з прямою . Рівняння прямої , тому . Рівняння : , тому .

,

Задача 11. Рівняння кривих привести до канонічного виду та побудувати їх

а) – рівняння гіперболи.

Розв’язання: Методом доповнення до повного квадрата виділяємо повний квадрат по змінних і :

,

,

,

,

.

Виконаємо паралельний перенос координат з новим центром в точці. Рівняння має вигляд:

Рівняння асимптот в «новій» системі координат де

Зробимо рисунок:

б) – рівняння еліпса.

Розв’язання: Виділяємо повний квадрат по змінних і :

,

,

.

Виконаємо паралельний перенос координат з новим центром в точці. Рівняння має вигляд: . Зробимо рисунок:

в) – рівняння параболи.

Розв’язання: Виділяємо повний квадрат по змінній :

Виконаємо паралельний перенос координат з новим центром в точці . Рівняння має вигляд: .

Зробимо рисунок:

Задача 12. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку перпендикулярно до заданої прямої

Розв’язання: Напрямний вектор прямої . Так як пряма і площина перпендикулярні, то , де – нормальний вектор площини. Тоді . Рівняння площини складаємо за формулою: , деі. Матимемо:.

У підсумку матимемо .

Задача 13. Дано чотири точки: ,,і.Знайти рівняння прямої, яка проходить через точку перпендикулярно площині .

Розв’язання: Складемо рівняння площини , яка проходить через три точки :

Розкриємо визначник по елементах першого рядка. Матимемо: . Тоді вектор нормалі площини або. З умови перпендикулярності прямої і площини: матимемо . Тому канонічні рівняння прямої

Задача 14. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку та пряму .

Розв’язання: Пряма задана як перетин двох площин. Через цю пряму можна провести безліч площин, які ми називаємо пучком площин. Запишемо рівняння пучка для наших площин

За умовою задачі площина проходить через точку . Підставимо координати точки в рівняння і знайдемо .

Знайдене значення підставимо в рівняння пучка: Рівняння площини:

Задача 15. Знайти кут між прямою та площиною .

Розв’язання: Напрямний вектор прямої нормальний вектор площини . Кут між ними Тоді .