1. Контрольна робота ( ргр ) № 1 Елементи лінійної та векторної алгебри. Аналітична геометрія. Диференціальне числення функції однієї та багатьох змінних

1.1 Вказівки до виконання контрольної роботи ( ргр ).

1.1.1 Елементи лінійної алгебри.

Числова матриця порядку – таблиця чисел, розташованих в рядках і стовпцях. Визначник n-го порядку – число , яке записується у вигляді

Визначник обчислюється за

формулою: =i – фіксований індекс рядка.

Визначник 3-го порядку може обчислюватись за правилом трикутника або Саррюса. Дві матриці і множаться за формулою: . Обернена матриця для матриці існує, якщо . Вона обчислюється за формулою: , де– транспонована матриця. Матрицяскладається з алгебраїчних доповнень до елементів матриці. Обернена матриця для матриці третього порядку має вигляд: ,

де = , – алгебраїчні доповнення до елементів матриці .

Обернену матрицю застосовують при розв’язуванні матричного рівняння: або , де , , , – матриці, при цьому . Розв’язком цих рівнянь є або .

Систему лінійних неоднорідних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) можна розв’язувати за формулами Крамера, матричним методом, методом Гаусса та іншими. Розглянемо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими: Формули Крамера для неї: , де = – визначник системи, , – визначники невідомих.

Матричний метод розв’язання СЛАР полягає в наступному: система записується матричним рівнянням: , де – матриця системи, – стовпець вільних членів, – стовпець невідомих. Розв’язок системи знаходиться за формулою: .

Метод Гаусса полягає в послідовному виключенні невідомих, система приводиться до трикутного виду (прямий хід), а потім, починаючи з останнього рівняння системи, послідовно знаходяться невідомі. Систему записують у вигляді розширеної матриці (це матриця системи до якої приєднується стовпець вільних членів), яку за допомогою елементарних перетворень рядків приводять до трикутного виду. Отриману матрицю записують у вигляді системи, яку розв’язують, починаючи з останнього рівняння.

Якщо вільні члени СЛАР одночасно рівні нулю, то маємо однорідну СЛАР. Якщо , система має єдиний розв’язок – нульовий. У противному випадку – безліч розв’язків.

Наприклад, для системи трьох лінійних однорідних рівнянь з трьома невідомими, коли , матимемо систему двох лінійних однорідних рівнянь з трьома невідомими:

, де . Розв’язок цієї системи дають формули: , , ,

Теорема Кронекера-Капеллі дозволяє встановити сумісність системи лінійних неоднорідних алгебраїчних рівнянь.

Задача 1. Знайти обернену матрицю до матриці . Результат перевірити, знайшовши добуток .

Розв’язання: а) обчислимо , розкладаючи його по першому рядку:

. Обернена матриця існує.

б) знайдемо алгебраїчні доповнення кожного елемента матриці

в) складемо матрицю із алгебраїчних доповнень:

г) транспонуємо отриману матрицю:

д) останню матрицю помножимо на , тобто на (-1/5) і отримаємо обернену матрицю.

Перевірка.

Задача 2. Розв’язати матричне рівняння:

.

Розв’язання: Маємо де

Знаходимо то існує і розв’язок рівняння буде Знайдемо. Алгебраїчні доповнення до елементів матриці : ; ;

;

Запишемо обернену матрицю :

.

Задача 3. Розв’язати неоднорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь трьома способами: а) за формулами Крамера, б) матричним методом, в) методом Гаусса.

Розв’язання:

а) за формулами Крамера: Знайдемо визначники , , ,. Обчислимо їх за правилом трикутників:

Послідовно замінюючи в  перший, другий і третій стовпець стовпцем вільних членів, знайдемо:

Δ

Δ

Δ

За формулами Крамера:

.

б) матричним методом : Нехай – матриця системи, – матриця-стовпець невідомих, – матриця-стовпець вільних членів:

.

Систему можна записати у вигляді: і розв’язок системи . Матриця є оберненою до матриці . Знайдемо її.

Знайдемо алгебраїчні доповнення:

Обернена матриця:

тоді:

Розв^’язок системи: , , .

в) методом Гаусса: Запишемо розширену матрицю системи, приєднавши до матриці системи стовпець вільних членів, і приведемо її до трикутного вигляду.

. Знак  означає перехід від однієї матриці до другої, за допомогою елементарних перетворень. Таких переходів отримали 3, вони пронумеровані. Перший перехід: 1-й рядок залишаємо без змін, до 2-го додаємо 1-й, помножений на (-2), до 3-го додаємо 1-й, помножений на (-1). Другий перехід: скорочуємо 3-й рядок на (-2) і міняємо місцями 2-й і 3-й рядки. Третій перехід: 1-й і 2-й рядки залишаємо без зміни, до 3-го додаємо 2-й, помножений на 4. Мета перетворень – отримати матрицю трикутного виду. Останню матрицю записуємо у вигляді системи : .

З останнього рівняння отримаємо , з другого , з першого .

Задача 4. Знайти розв^’язок систем лінійних однорідних рівнянь.

a)

Розв’язання: Визначник системи , тому система має єдиний розв’язок : .

б)

Розв’язання: Визначник системи

Отже система має безліч розв^’язків. Знайдемо загальний розв’язок системи. Третє рівняння є сумою перших двох рівнянь, тому його можна відкинути. Розглянемо систему двох рівнянь:

Застосуємо формули для знаходження розв’язку системи:

, , ,