
3 Контрприклади у темі „інтеграл рімана”
Функція
називається інтегрованою за Ріманом
на сегменті
,
якщо для цієї функції на вказаному
сегменті існує границя
її інтегральних сум
при спрямуванні діаметру
розбиттів
до нуля.
Число
називається визначеним інтегралом
Рімана від функції
в границях від
до
і об означається символом
[8]
Таким чином, за означенням
Приведемо
простий приклад інтегрованої за Ріманом
функції. Покажемо, що функція
інтегрована на будь якому сегменті
,
причому
Дійсно, при будь якому розбитті
та будь якому виборі точок
на сегментах
справедлива рівність
Отже,
для
будь якого розбиття
та будь якого вибору точок
.
Тому
Примітивна функція – інша назва первісної функції. [7]
Контрприклад 1 (Приклад 3).
Функція, інтегровна за Ріманом та не має примітивної на жодному інтервалі.
Якщо
положити
,
то функція
буде
інтегровна на
так як вона монотонна на цьому інтервалі.
Однак ця функція не має примітивної на
жодному підінтервалі з
,
оскільки безліч точок її скачків всюди
щільно на інтервалі
.
Як пише В.А. Зорич у своїй книзі «Інтеграл», композиція інтегрованих функцій не мусить бути інтегрованою функцією. [8]
Контрприклад 2 (Приклад 9).
Дві функції, інтегровні за Ріманом, композиція яких не інтегровна за Ріманом.
Нехай
для
та
.
Далі,
нехай
-
звуження
функції
назамкнений
інтервал
[0,1]. Тоді
є
звуженням
на [0,1] характеристичної
функції
множини
всіх
раціональных
чисел. Ця
функція
дорівнює
1, якщо
х раціональне,
та
дорівнює
0, якщо
х ірраціональне.
4 Контрприклади у темі „нескінченні ряди”
Числовий ряд — це числова послідовність, яка розглядається разом з іншою послідовністю, яка називаеться послідовністю часткових сум (ряда). [6]
Нехай
- послідовність часткових сум нескінченного
ряда
,
тобто
для
Якщо
існує і скінченний, то кажуть, що ряд
збігається.
Цю
границю називають сумою ряда
і пишуть:
.
Якщо
нескінченний або не існує, то кажуть,
що ряд розбігається.
Контрприклад 1 (Приклад 3).
Збіжний
ряд та
розбіжний
ряд , такі,
що
В якості
можна
взяти
умовно
збіжний знакоочередний гармонійний
ряд ,
а в якості
- розбіжний
гармонійний
ряд
.
Тоді
для
Теорема
Лейбниця
для знакоочередних
рядів стверджує, що
ряд
,
де
та
,
збігається, якщо:
(1)
.;
(2)
;
(3)
.
Контрприклад 2 (Приклад 7).
Про умови теореми Лейбниця для знакоочередних рядів.
Жодні дві з трьох умов теореми Лейбниця самі по собі не забезпечують збіжність, тобто не одну з цих трьох умов не можна опустити. Цей факт підтверджується наступними трьома прикладами.
(1)
Покладемо
,
.З
іншого боку,
существенно
саме
чергування
знаків
у
членів
ряду.
У
цьому можна переконатися
на
тому
ж прикладі,
якщо
у якості
взяти наступну
послідовність з трійок чисел:
1, 1,-1, 1,1,-1,… .
(2) Покладемо , якщо парне, та , якщо n – непарне.
(3)
Покладемо
,
(або
що ще
простіше,
,
.
Нехай
є
неперервною, додатньою і монотонно
спадаючою функцією на проміжку [1;+∞).
Тоді ряд
збігається,
якщо збігається невласний інтеграл
,
і розбігається, якщо
.
Розглянемо приклад.
Визначити,
збігається чи розбігається ряд
.
Використовуємо інтегральну ознаку Коші. Обчислимо відповідний невласний інтеграл:
.
Таким чином, даний ряд розбігається.
Контрприклад 3 (Приклад 12).
Додатня
неперервна функція
при
така, що інтеграл
збігається,
а ряд
розбігається.
Положимо
для будь
якого цілого
,
а на замкненних
інтервалах
та
функцію
визначимо,
як лінійну та рівну нулю в кінцевих
нецілих точках.
Нарешті,
в тих точках
,
де
ще
не визначена,
покладемо
.
Тоді
функція
додатня
та неперервна для
,рівність
не має
місця,
а невласний
інтеграл
збігається.
Якщо
опустити
вимоги
додатності
функції,
то
простим
прикладом,
який
задовольняє
залишившимся
вимогам,
є
інтеграл:
.
Числовий ряд розбігається, якщо розбігається послідовність його часткових сум.
Ряди можна множити за правилом Коші:
,
;
.
Висновок: додаток двох степеневих рядів за правилом Коші – степеневий ряд із сумою, яка дорівнює додатку сум вихідних рядів.
Контрприклад 4 (Приклад 18).
Два розбіжних ряда, добуток яких збігається абсолютно.
Добутком (за Коші) наступних двох рядів:
2+2+
є ряд
В більш
загальній формі,
якщо
і
для , причому
, то член
ряду,
є
добутком рядів
і
,
рівний
( при ):
Отже,
якщо
і
.
Якщо при цьому
і пов’язані рівністю
,
то
і
обчислюються
за формулами
ВИСНОВКИ
В математиці існують приклади двох типів – ілюстративні приклади і контрприклади. Перші показують, чому те чи інше твердження має сенс, а інші - чому те чи інше твердження позбавлено сенсу. Можна стверджувати, що будь який приклад є у той же час контрприкладом для деякого твердження, а саме для твердження, що такий приклад неможливий. [1]
Побудова контрприкладів відіграє важливу роль у розвитку математичної думки та математики як науки загалом, дає можливість відповісти на ряд важливих застережень щодо певних математичних тверджень, надає іншого значення тривіальним доведенням.
В курсовій роботі були розглянуті контрприклади в математичному аналізі, це може бути корисно студентам і викладачам для ілюстрації помилок, можливих при вивченні аналізу, та може розкрити деякі аспекти теорем та правил математичного аналізу.
ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ
1. Гелбаум Б., Олмстед Д., Контрпримеры в анализе. – М.: МИР, 1967. – 250 с.
2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Бл. Х. Сендов. Под ред.. А.Н. Тихонова Математический анализ. Начальный курс – 2 изд., перераб. – М.: Изд-во МГУ, 1985.-662 с.
3. Зорич В.А. Математический анализ, часть I. — М.: Физматлит, 1984. - 544 с.
4. Дороговцев А. Я. Математический анализ. Краткий курс в современном изложении (2-е издание). Киев: Факт, 2005. - 305 с.
5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. ( В 3-х томах ). - М.: Физматлит, 2008. - 338с.
6. Сакс С. Теория интеграла, М.: Факториал Пресс, 2006г. – 209 с.
7. Лебег А. Интегрирование и отыскание примитивных функций, М.: МГУ, 1934. – 310 с.
8. Зорич В.А. Интеграл — М.: Физматлит, 1984. — 6 с.
9. uk.wikipedia.org
10. Кужель О.В. Контрприклади в математиці. – К.: Рад. Школа, 1988. – 96 с.