1 Контрприклади у темі „функції та границі”

Функція є неперервною в точці, якщо функціямає в точціграницю і ця границя дорівнює значеннюфункціїв точці.

Наприклад, степенева функція , де- натуральне число, неперервна в кожній точцінескінченної прямої.

В математиці множина раціональних чисел визначається як множинанескоротних дробів із цілим чисельником і натуральним знаменником:

Ірраціональні числа — числа, що не є раціональними, тобто не можуть бути виражені відношенням цілих чисел. Таким чином, ірраціональні числа утворюють множину , де — множина дійсних чисел, а — множина раціональних чисел.

Контрприклад 1 (Приклад 2).

Функція, неперервна лише в одній точці.

Така функція неперервна в точці х=0.

Точка множининазивається внутрішньою точкою цієї множини, якщо існує додатнє числотаке, що-окіл точкитакож належить множині.

Множина називається відкритою, якщо будь-яка точка цієї множини є її внутрішньою точкою.

Будемо казати, що система відкритих множинутворює покриття множини, якщо будь-яка точкамножининалежить хоча б одній з множин системи.

Нехай – довільна множина дійсних чисел. Множинаназивається компактною множиною (або компактом), якщо з будь якої системивідкритих множин, утворюючої покриття множиниможна виділити скінченну підсистему, також утворюючу покриття множини. [2]

Контрприклад 2 (Приклад 3).

Неперервна і необмежена функція, визначена на довільній некомпактній множині:

(а) Якщо - необмежена множина дійсних чисел, то покладемо:

(b) Якщо - обмежена, але не замкнутамножина дійсних чисел, то покладемо:

,

де - гранична точкамножини , що не належить.

Якщо неперервна на компактній множині А, то обмежена на ній.

Щільна множина – це підмножина простору, точками якого можна скільки завгодно добре приблизити будь-яку точку охоплюючого простору. Формально кажучи, A щільно в X, якщо будь-який окіл будь-якої точки з Х містить елемент з . [2]

Якщо границя функції існує, але функція не визначена в цій точці, або границя не співпадає зі значенням функції в цій точці:

,

тоді точка зветься точкою усуненого розриву функції. Якщо «поправити» функцію в усувній точці і покласти

,

тоді отримаємо функцію, неперервну в даній точці. Така операція над функцією називається довизначенням функції до неперервності, що і обгрунтовує назву точки як усувної точки. [5]

Контрприклад 3 (Приклад 17).

Функція з щільною множиною точок розриву, кожна з яких усувна.

Нехай - раціональне число.Покладемо

.

Тоді

,

тобто функція стає неперервною в точці .

Замкнута множина – це підмножина простору, доповнення до якої відкрито.

Контрприклад 4 (Приклад 22).

Функція, точки розриву якої утворюють довільно задану замкнуту множину. Нехай - замкнута множина. Визначимо множину наступним чином:

, якщо або .

Далі покладемо

Якщо , то розривна в цій точці. Насправді, якщо ,тоді . Тоді як с є граничною точкою множиниR\A, на якій f тотожно дорівнює 0; якщо , то . Причому є граничною точкою множини \, на якій дорівнює 0; нарешті, якщо , то , в той час якє граничною точкою множини , на якій тотожно дорівнює 1.

Відзначимо, що на множині функціянеперервна, оскільки ця множина відкрита, і функціястала на ній.