Быстрая сортировка (Хоара)
Эту сортировку называют быстрой, потому что на практике она оказывается самым быстрым алгоритмом сортировки из тех, что оперируют сравнениями.
Этот алгоритм является ярким примером реализации принципа «разделяй и властвуй». Как показывают теоретические выкладки, наиболее эффективным в общем случае оказывается разделение задачи на две равные по сложности части, что здесь и делается. На каждом шаге алгоритма сначала выбирается «средний» элемент, затем переставляются элементы массива так, что массив разделился на две части. Первая часть содержит элементы меньше «среднего» и, возможно, равные ему. Вторая часть содержит элементы больше «среднего» и, возможно, равные ему. После такого деления массива остается только отсортировать его части по отдельности, с которыми поступаем аналогично (делим на две части). И так до тех пор, пока эти части не окажутся состоящими из одного элемента, а массив из одного элемента всегда отсортирован (рис. 6). В случае, когда массив содержит только одинаковые элементы, выбор «среднего» элемента не производится и сортировка не осуществляется.
Рисунок 6 – Сортировка Хоара
Разделение массива на две части производится следующим образом. Устанавливаем один курсор на левую границу массива, а второй – на правую границу. Затем осуществляем перемещение курсоров навстречу друг другу до тех пор, пока они не пересекутся. При перемещении курсоров сравниваем значения текущих элементов со «средним». Находим левый текущий элемент, больший «среднего», и правый текущий элемент, меньший «среднего» (т. е. элементы, которые находятся «не на своем месте»). Осуществляем обмен этих элементов.
Заметим, что предложенный способ нахождения «среднего» элемента подмассива в худшем случае приведет к тому, что после деления, например, правая часть поделенного массива будет содержать один элемент, а левая – все остальные. В этом случае получается порядка n рекурсивных вызовов. Это значит, что необходимо будет завести дополнительную память размером, пропорциональным n, и пространственная сложность Vmax(n) будет пропорциональна O(n). В среднем и лучшем случае, можно говорить о пространственной сложности, пропорциональной O(log n).
В худшем случае этот алгоритм дает временную сложность Tmax(n), пропорциональную O(n2) (для случая, когда все выборки «среднего» элемента оказались неудачны), но как показывают теоретические исследования, вероятность такого случая очень мала. В среднем же и в лучшем случае получим временную сложность T(n), пропорциональную O(nlog n).
Сортировка слиянием
Этот метод сортирует массив последовательным слиянием пар уже отсортированных подмассивов. Пусть k – положительное целое число. Разобьем массив A[1]...A[n] на участки длины k. (Первый – A[1]...A[k], затем A[k+1]...A[2k] и т. д.) Последний участок будет неполным, если n не делится нацело на k.
Назовем массив k-упорядоченным, если каждый из этих участков длины k упорядочен. Ясно, что любой массив 1-упорядочен, так как его участки длиной 1 можно считать упорядоченными. Если массив k-упорядочен и n ≤ k, то он упорядочен.
Рассмотрим процедуру преобразования k-упорядоченного массива в 2k-упорядоченный. Сгруппируем все участки длины k в пары участков. Теперь пару упорядоченных участков сольем в один упорядоченный участок. Проделав это со всеми парами, получим 2k-упорядоченный массив (рис. 7).
Рисунок 7– Сортировка слиянием
Слияние требует вспомогательного массива B для записи результатов слияния. При слиянии сравниваем наименьшие элементы участков рассматриваемой пары, и меньший из них заносим в массив B. Повторяем описанные действия до тех пор, пока не исчерпается один из участков. После чего заносим в массив B все оставшиеся элементы другого участка. Затем переходим к следующей паре участков.
Сразу же бросается в глаза недостаток алгоритма – он требует дополнительную память размером порядка n (для хранения вспомогательного массива). Кроме того, он не гарантирует сохранение порядка элементов с одинаковыми значениями. Но его временная сложность всегда пропорциональна O(nlog n) (так как преобразование k-упорядоченного массива в 2k-упорядоченный требует порядка n действий и внешний цикл по k совершает порядка log n итераций).