Матфизика Мурга Е.В

і підбираємо коефіцієнти ак так, щоб задовольнити умові u(R, ) = А :

u(R, ) akRk sin k A .

k 1

Залишилосярозкластифункцію А врядФур’є посинусахна [0, ].

Так

Відповідь:

x c рівна 3sin ysin z , на решті граней температура рівна нулю. b c

Рішення u(x, у, z) рівняння Лапласа

з крайовими умовами

u(0, у, z) = u(x, 0, z) = u(x, у, 0)= 0

141

u(с, у, z) = 3sin ysin z b c

шукатимемо у вигляді

Це рішення підказують крайові умови.

Підставимо функцію u(x, у, z) в рівняння (1):

Змінні розділяються:

Тут

2V 2V

V(y,z) y2 z2

Крайові умови по х дають

u(0, у, z) = X(0)V(у, z)= 0 = X(0) = 0;

142

u(с, u, z) = X(c)V(у, z) = 3sin ysin z. b c

Значить, можемо прийняти х(с)= 3, а

Функція (5) задовольняє нульовим крайовим умовам, тобто

V(0,z)= V(b,z)= V(у,0)= V(у, с)= 0. Зверніть увагу на те, що для функції Х(х) ми не отримали задачу Штурма-Ліувілля ( про власні значення і власні функції).

В співвідношенні (4) ліва частина залежить тільки від х, а

права тільки від у, z. Рівність цих частин можливо лише при умові

ХV

Розглянемо рівняння

рішення якого V(у,z) нам відомо, воно визначається формулою (5).

Помітимо, що тільки при позитивних значеннях константи, що фігурує в співвідношенні (6), рівняння (7) може мати рішення вигляду (5).

Знайдемо значення , при яких рівняння (7) задовольняється функцією (5).

143

Обчислимо похідні;

Залишилося знайти функцію Х(х), яка задовольняє рівнянню

і крайовим умовам.

144

145

тут

Легко перевірити, що функція (11) дійсно задовольняє і рівнянню (1) і крайовим умовам (2).

Задачі для самостійного розв’язування

1. Знайти рішення рівняння Лапласа в напівсмузі 0 х а

b

146

3. Написати рішення другої крайової задачі для рівняння u = 0

u

усередині круга, якщо | Acos .

r r a

Відповідь: u(r, ) = A0+Arcos , де А0 – довільна постійна.

4. Написати рішення другої крайової задачі для рівняння u =

u

0 зовні круга, якщо | Asin3 .

r r a

5. Знайти рішення: а) внутрішньої і б) зовнішньої крайових задач для рівняння Лапласа, якщо на межі круга задані умови:

1)u|p=a = Asin ;

2)u|p=a=Asin3 + B;

Відповідь:

а) рішення внутрішніх задач мають вигляд:

1) u , A sin ;

a

147

б) рішення зовнішніх крайових задач даються виразами:

1) u( , ) A a sin ;

2)u( , ) B 3Aa sin 4A(a)3 sin3 ;

3)u( , ) A a sin 8A (a)2k cos2k .

k 1 2 94k

6.На межі тонкої пластинки у формі кругового сектора а;

задана температура

Знайти стаціонарне термічне поле в пластинці.

Відповідь:

7. Вирішити рівняння Лапласа усередині кільцевого сектора,

обмеженого дугами кіл = а, = b і кутами = 0 , якщо задані наступні умови на межах

f при a;

u = 0 при u

F при b.

148

Відповідь:

149

10. Знайти стаціонарне розподілення температури u(x, y)в

прямокутній одноріднії пластини 0<х<a, 0<y<b, якщо її сторони x=a і y=b вкриті тепловою ізоляцією, дві інші (x=0, y=0) підтримуються при нульовій температурі, а в пластинці виділяється тепло з постійною щільністю q.

Відповідь: