15.2 Дифференциальное уравнение прокатки

Дифференциальное уравнение прокатки было выведено Т. Карманом. При этом он сделал такие предположения:

• принята плоская деформация;

• в очаге деформации имеют место две зоны скольжения – зона отставания и зона опережения;

• в каждой из зон скольжения изменения сил трения определяется законом Амонтона;

• вынужденный порог текучести не изменяется вдоль дуги контакта;

• принятая гипотеза плоских сечений, или постоянство горизонтальных скоростей частиц металла и напряжений по высоте сечения в очаге деформации;

• не учитывается влияние внешних зон;

• не учитывается упругая деформация валков.

Рассмотрим в очаге деформации элементарный объем аbсd (рис. 53), который ограничен поверхностями валков и двумя параллельными плоскостями, и условие его равновесия. Для этого спроектируем все силы, которые действуют на выделенный элемент, на ось х.

Рис. – 53 Условия равновесия элементарного объема металла в зоне опережения

На элементарный объем действуют силы:

– нормальная сила ;

• сила трения , или

• при

(знак „+” относится к зоне опережения,

знак "-" – к зоне отставания).

– сжимающие силы, которые действуют в плоскости bс:

;

– сжимающие силы, которые действуют в плоскости сd:

Сумма горизонтальных проекций всех сил, которые действуют на элементарный объем в зоне опережения:

(15.1)

После преобразования получаем:

(15.2)

Для решения этого уравнения необходимо найти зависимость между и. С учетом гипотезы плоских сечений одно из главных напряженийσ, всегда будет направлено вертикально, а два других - в горизонтальной плоскости:

–по направлению прокатывания, а

- перпендикулярно к нему.

Условие пластичности для плоской деформации в главных напряжениях

, (15.3)

где – вынужденный порог текучести металла.

Если принять ,, получим:

После дифференцирования (15.4)

В связи с тем, что для плоской деформации ,=1,15

Из рисунка 53 видно, что

Подставляем все это в уравнение равновесия и получаем:

(15.5)

Знак ”–„ – используется для зоны опережения,

„+^” – для зоны отставания.

Это и есть дифференциальное уравнение прокатки Т. Кармана. Его можно подать в виде:

, (15.6)

где ,.

Решение этого уравнения очень сложно. Поэтому, ввиду того, что угол захвата в большинстве случаев не превышает 30° при горячей прокатке и 8° при холодной, с достаточной точностью дугу захвата можно приравнять к кривой, при которой решение уравнения будет более простым. Такой кривой Т. Карман принял параболу, уравнение которой имеет вид:

(15.7)

Тогда (15.8)

Однако и в этом случае после подстановки в дифференциальное уравнение значений ,инеобходимо решать сложное интегральное уравнение, поэтому, в дальнейшем, были попытки заменить дугу контакта хордой.

Для разнообразных условий процессов прокатки характерные разные законы изменения , которые принимаются на основе теорий касательных контактных напряжений.