§ 4. Векторное произведение векторов

Литература: (1, с. 72-78; 2, с. 64-69; 3, с. 235-239; 4, с. 30-40)

1. Определение и свойство векторного произведения векторов

Векторным произведением вектора на векторназывается такой вектор, который удовлетворяет следующим условиям:

1) , где- угол между векторамии.

2) Вектор перпендикулярен к каждому из векторови

3) Направлен вектор так, что кратчайший поворот отквиден из конца вектора против часовой стрелки.

Векторное произведение вектора на векторобозначается через.

Свойства векторного произведения:

1) , т.е. векторное произведение не обладает переместительными свойством.

2) , если, либо, либо. В частности,.

3)

4) .

5) Если инеколлинеарны, то модуль векторного произведения равен площади построенного на них параллелограмма (геометрический смысл). Векторные произведения координатных ортов:

;;

Векторное произведение векторов заданных своими координатами определяется по формуле:

(20)

2. Задачи, решаемые при помощи векторного произведения

1) Нахождение площади параллелограмма, построенного на векторах и:

(21)

2) Нахождение момента силы , приложенной к точке М, относительно точки А:

(22)

В этом состоит механический смысл векторного произведения

3) Нахождение синуса угла между векторамии:

(23)

3. Примеры

4.3.1. Векторы ивзаимно перпендикулярны. Зная, что,, вычислить.

Решение. Из свойства векторного произведения, раскрывая скобки, получим:

так как ,,.

4.3.2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

Решение. ПО формуле (21) имеем: . Так как векторыизаданы координатами, то найдём векторноё произведение по формуле (20):

Следовательно, .

Тогда .

4.3.3. Вычислить площадь треугольника с вершинами ,,.

Решение. Площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и. Найдём координаты векторови:

Тогда:

.

Следовательно, .

4.3.4. Даны три силы приложенные к точке :

; ;

Найти момент их равнодействующей относительно точки .

Решение. Воспользуемся формулой (22):

;

.

Тогда:

.

4. Вопросы для самопроверки

Что называется векторным произведением векторов? Как оно обозначается?

Какими свойствами обладает векторное произведение?

Каков геометрический смысл векторного произведения?

Каков механический смысл векторного произведения?

Как считаются векторные произведения основных ортов?

Как находится векторное произведение векторов, заданных своими координатами?

Какие задачи решаются при помощи векторного произведения?

5. Примеры для самостоятельного решения

4.5.1. Векторы иобразуют угол. Зная, что,, вычислить.

4.5.2. Векторы иобразуют угол. Зная, что,, вычислить.

4.5.3. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и, если известно, что,,,,.

4.5.4. Даны векторы и. Найти координаты векторного произведения: а); б)

4.5.5. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и.

4.5.6. Дан треугольник с вершинами ,,. Найти его площадь.

4.5.7. Даны вершины треугольника ,и. Вычислить длину его высоту, опущенной из вершины В на сторону АС.

4.5.8. Вычислить синус угла, образованного векторами и.

4.5.9. Сила приложена к точке. Определить момент этой силы относительно начала координат.

4.5.10. Даны три силы ;;, приложенные к точке. Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точке.

4.5.11. Доказать тождество: .

6. Ответы к примерам

4.5.1. 4.5.2.

4.5.3. (кв.ед.) 4.5.4. а), б)

4.5.5. (кв.ед.) 4.5.6.(кв.ед.)

4.5.7. (ед.) 4.5.8.

4.5.9. 4.5.10.;;;