§ 3. Скалярное произведение векторов

Литература: (2, с. 61-64; 3, с. 231-235; 4, с. 24-30)

1. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов иобозначается символомили. По определению:

(13)

Свойства скалярного произведения:

1) - скалярный квадрат равен квадрату его модуля.

2) (верен переместительный закон)

3) (верен распределительный закон)

4) (верен сочетательный закон по отношению к скалярному множителю)

5) Условие перпендикулярности двух векторов: две нулевых вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:

(14)

Справедливо и обратное утверждение.

Скалярное произведение векторов иможно выразить также формулами:

;

Скалярное произведение одноимённых вектор равны единице, а разноимённых – нулю, то есть ;.

Если векторы изаданы своими координатами, то их скалярное произведение находится по формуле:

(15)

то есть скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноимённых координат.

2. Задачи, решаемые при помощи скалярного произведения

Нахождение работы

Работа А постоянной силы на прямолинейном участке пути равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения:

(16)

Формула (16) выражает механический смысл скалярного произведения векторов.

Нахождение проекции одного вектора на направление другого

или (17)

Нахождение угла между векторами

(18)

Нахождение длинны вектора

(19)

3. Примеры

3.3.1. Векторы иобразуют угол. Зная, что,, найти: а); б); в)

Решение.

а) По формуле (13) имеем: .

б) Используя свойства скалярного произведения, получим:

3.3.2. Найти скалярное произведение векторов и .

Решение. Из разложения векторов по ортам определяем их координаты: ,. Тогда по формуле (15) получим:

Так как ,то.

3.3.3. Даны векторы иПри каком значенииэти векторы перпендикулярны?

Решение. Два нулевых вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. .

Из разложения по ортам определим координаты векторов: ,. Тогда по формуле (15) имеем:

Следовательно, .

3.3.4. Определить угол между векторами и, еслии.

Решение. По формуле (16) .

По условию ,. Тогда;

Следовательно, , тогда.

3.3.5. Даны вершины треугольника ,и. Найти внутренний угол при вершине А.

Решение. Искомый уголесть угол между векторамии. По координатам концов найдём эти векторы:,.

По формуле (16) .

; ;

Тогда

3.3.6. Даны три вектора ,и. Вычислить.

Решение. Обозначим и найдём его координаты

Тогда по формуле (15) имеем:

.

3.3.7. Вычислить работу силы , когда её точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения в положение.

Решение. По формуле (14) , где- вектор перемещения,- вектор силы.

По условию . Тогда.

3.3.8. Дан вектор , причём;, угол между векторамииравен. Вычислить модуль вектора.

Решение. По формуле (19) получим:

4. Вопросы для самопроверки

Что называется скалярным произведением векторов? Как оно обозначается?

Какими свойствами обладает скалярное произведение?

Сформулируйте условие перпендикулярности двух векторов.

Какие задачи решаются при помощи скалярного произведения?

5. Примеры для самостоятельного решения

   1. Векторы иобразуют угол. Зная, что;, вычислить: а); б); в).

   2. Векторы ивзаимно перпендикулярны: векторобразует с ними углы, равные; зная что;,, вычислить, а) ; б).

   3. Даны векторы иВычислить: а); б); в); г).

   4. Даны точки и. Вычислить: а); б).

   5. Вычислить работу, производимую силой , когда её точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положенияв положение.

   6. Даны три силы и, приложенные в одной точке. Вычислить какую работу производит равнодействующая этих сил, когда её точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положенияв положение.

   7. Определить, при каком значении векторыивзаимно перпендикулярны.

   8. Вычислить косинус угла, образованного векторами и.

   9. Даны вершины треугольника и. Найти его внутренний угол при вершине В.

   10. Даны вершины треугольника и. Определить его внутренний угол при вершине А.

   11. Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и.

   12. Вычислить проекцию вектора на ось вектора.

   13. Даны три вектора: ,и. Вычислить.

   14. Даны точки . Вычислить.

   15. Вектор , коллинеарный векторуобразует острый угол с осью. Зная, что, найти его координаты.

   16. Даны три вектора и. Найти вектор, удовлетворяющий условиям:;;.

   17. Найти вектор , перпендикулярный векторами, если известно, что его проекция на векторравна 1.

6. Ответы к примерам

3.5.1. а) -6; б) 13; в) -61 3.5.2. а) -62; б) 162

3.5.3. а) 22; б) 6; в) -200; г) 129 3.5.4. а) -524; б) 13

3.5.5. А=31 3.5.6. А=13

3.5.7. 3.5.8.

3.5.9. 3.5.10.

3.5.11. 3.5.12.

3.5.13. 3.5.14.

3.5.15. 3.5.16.

3.5.17.