§ 2. Декартовые прямоугольные координаты в пространстве. Разложение вектора по ортам

Литература: (1, с. 34-42; 2, с. 58-58; 3, с. 222-231)

1. Координаты точек

Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием единицы масштаба для измерения длин и трёх пересекающихся в точке перпендикулярных осей:- ось абсцисс, ось- ось ординат и- ось аппликат. Если в пространстве задана точка, то, проектируя её на соответствующие оси, получим три координаты точки в пространстве.

2. Координаты векторов

Положение координатных осей можно задать с помощью единичных векторов ,,, направленных соответственно по осям. Векторы,,называются основными или базисными ортами.

Пусть задан в пространстве вектор своими проекциями на координатные оси:,,.

Тогда имеет место формула:

(3)

Формула (3) называется разложением вектора по основным ортам.

Проекции ,,векторана координатные оси называются его координатами. Зная координаты вектора, можно записать разложение вектора по основным ортам и, наоборот, зная разложение вектора по основным ортам, определяют координаты вектора (коэффициенты при ортах – есть координаты вектора).

3. Действия над векторами, заданными координатами

Равные вектора имеют равные координаты.

Вектор , направленный из начала координат в точку, называется радиусом – вектором точки. Проекции радиуса-вектора равны координаты точки М, т.е.

(4)

Если даны координаты точек и, то координаты вектораполучаются вычитанием из координат его конца В координат начала А:

(5)

При сложении (вычитании) векторов их координаты складываются (вычитаются); при умножении вектора на число все го координаты умножаются на это число, т.е. если ,, то

(6)

(7)

Если векторы иколлинеарные, тои, следовательно,

(8)

Формула (8) выражает условие коллинеарности двух векторов: для того, чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их проекции были пропорциональны.

4. Длинна вектора и его направляющие косинусы

Длина вектора вычисляется по формуле:

(9)

Если же вектор задан координатами своих концов А и В, то длина его вычисляется по формуле:

(10)

С помощью формулы (10) находится расстояние между двумя точками А и В.

Направление вектора в пространстве определяется углами , которые вектор составляет с осями координат:,,. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами.

, ,(11)

Направляющие косинусы являются координатами орта вектора ,

(12)

Направляющие косинусы связаны между собой соотношением:

5. Примеры

1) Определить, при каких значениях ивекторыиколлинеарны.

Решение. Из формулы разложения вектора по ортам (3) определим координаты данных векторов: ;. Из условия коллинеарности векторов (8) получим:

.

2) Даны три последовательные вершины параллелограмма ,,. Найти четвёртую вершину, противоположную вершине В.

Решение. Так как - параллелограмм, то

Из равенства векторов получим : ;;. Следовательно,

3) Найти длину и направляющие косинусы вектора , гдеи.

Решение. Используя формулу (10), имеем:

Тогда по формулам (11):

, ,.

4) Даны векторы и. Найти координаты вектора.

Решение. По формуле (7) найдём:

Тогда по формуле (6):

6. Вопросы для самопроверки

Как задаётся прямоугольная декартова система координат?

Что такоё основные орты?

Запишите формулу разложения вектора по ортам. Как определяются координаты и компоненты вектора?

Что называется направляющими косинусами вектора и как они определяются?

Как проводятся линейные операции над векторами, заданными своими координатами?

При каких условиях векторы коллинеарны?

Как находится орт вектора , заданного своими координатами?

7. Задания для самостоятельного решения

   1. Найти орт вектора .

   2. Найти длину и направляющие косинусы вектора

   3. Найти вектор , еслии.

   4. Даны два вектора и. Определить проекцию вектора.

   5. Определить, при каких значениях ивекторыиколлинеарны.

   6. Векторы исовпадают со сторонами треугольника АВС. Определить координаты векторов, приложенных к вершинам треугольника и совпадающих с его медианами АМ,, СР.

   7. Даны три вектора ,и. Найти разложение векторапо базису.

8. Ответы к примерам

2.7.1. 2.7.2.

2.7.3. 2.7.4.

2.7.5. 2.7.6.

2.7.7.