Часть 2. Векторная алгебра
§ 1. Векторы и линейные операции над ними
Литература: (2, с. 47-53; 3, с. 222-231; 4, с. 6-24)
Скалярные и векторные величины
Те величины, которые
характеризуются одним числом, называются
скалярными. Вектор – это направленный
отрезок. Векторы обозначаются либо
одной буквой с чёрточкой
,
либо двумя буквами с чёрточкой
,
где точка
есть начало вектора, а
- его конец.
Длина вектора
называется его модулем и обозначается
или
.
Вектор длина которого равна нулю,
называется нуль – вектором. Вектор,
длинна которого равна единице, называется
единичным или ортом. Орт обозначается
.
Векторы, расположенные на одной или параллельных прямых, называется коллинеарными. Векторы, расположенные в одной или параллельных плоскостях, называются компланарными.
Два вектора называются равными, если они коллинеарными, сонаправлены и имеют одинаковые модули.
Линейные операции над векторами
Линейными называются операции сложения, вычитание векторов и умножения вектора на число.
Сложение векторов
Графическое выполнение сложения векторов показано на рис.1:
а
)
Правило треугольника; б) правило
параллелограмма; в) правило многоугольник.
Сложение векторов
подчиняется обычным законам сложения
– переместительному
и сочетательному
.
Разность векторов
Графическое выполнение разности векторов показано на рис. 2.
В
ектор
разности направлен в сторону уменьшаемого
вектора.
Умножение вектора на число
Произведением
вектора
на число
называется вектор
,
коллинеарный вектору
и имеющий модуль
.
Произведением вектора на число обладает следующими свойствами:
1)
;
2)
,
;
3)
;
4)
;
5)
.
Каждый вектор можно представить в виде произведения его модуля на орт
(1)
Проекция вектора на ось и составляющая вектора по оси
Разность между
координатами проекций конца и начала
вектора
на ось
называется проекцией вектора
на эту ось.
(2)
Е
сли
вектор
образует с осью
острый угол (рис. 3, а), то
,
и проекция вектора положительна; если
угол
- тупой, то проекция отрицательна (рис.
3, б); если вектор
перпендикулярен оси
,
то проекция равна нулю (рис. 3, в).
Свойства проекций:
1)
2)
3)
.
Произведение
проекции вектора
на ось
и единичного вектора
этой оси называется составляющей вектора
по оси
.
Примеры
1.4.1. По данным
векторам
и
построить векторы
и
.
Решение. См. рис. 4.
1.4.2. Даны векторы
.
Построить вектор
.
Р
ешение.
см. рис. 5.
1.4.3. Пусть
- единичные векторы, составляющие с
данной осью
,
соответственно, углы
.
Найти проекцию на
эту ось вектора
.
Решение. Согласно свойствам проекции
Вопросы для самопроверки
Что называется вектором? Как обозначается?
Какие векторы называются равными?
Какие векторы называются коллинеарными?
Какие векторы называются компланарными?
Какие операции над векторами называются линейными?
Дайте определение суммы векторов и сформулируйте свойства суммы.
Дайте определение разности векторов.
Как определяется произведение вектора на Скляр и каковы его свойства?
Что называется проекцией вектора на ось и составляющей вектора на оси?
Сформулируйте свойства проекции вектора.
Примеры для самостоятельного решения
По данным векторам
и
построить каждый из следующих векторов:
1.
2.
3.
4.
5.
6. Два вектора
и
служат сторонами треугольника АВС. С
помощью
и
выразить векторы, совпадающие с медианами
треугольника.
7. В правильном
шестиугольнике
даны:
и
.
Разложить по этим двум векторам
и
.
8. В ромбе
даны диагонали
и
.
Разложить по этим двум векторам все
векторы, совпадающие со стонами ромба
и
.
9. Даны:
.
Вычислить:
.
10. Векторы
и
взаимно перпендикулярны, причём
и
.
Определить:
.
11. Векторы
составляют с данной осью
,
соответственно, углы
.
Найти проекцию на ось
вектора
,
если известно, что
.
О
тветы
примерам
6.
;
;
.
7.
;
;
;
8. 
;
;
;
;
9.
10.
11.
