§ 5. Прямая в пространстве

Литература: (2, с. 144-151; 3, с. 248-252; 4, с. 48-52)

1. Общие уравнения прямой

Прямая в пространстве определяется как линия пересечения непараллельных плоскостей. При этом уравнения плоскостей описывают прямую и называются её общими уравнениями:

(35)

Уравнения (35) определяет прямую, если коэффициенты не пропорциональны коэффициентам.

2. Канонические уравнения прямой

Пусть прямая проходит через точкупараллельно вектору. Всякий вектор, параллельный прямой, называется направляющим вектором прямой.

Канонические уравнения прямой имеют вид:

(36)

Чтобы перейти от общих уравнений прямой к каноническим, необходимо:

1. найти какую-либо точку . Для этого следует задать числовое значение одной из неизвестных координат точкии подставить его вместо соответствующей переменной в уравнения (35), после этого две другие координаты определяются в результате совместного решения уравнения (35);

2. найти направляющий вектор . В качестве вектораможно взять любой вектор, перпендикулярный векторами, например их векторное произведение.

Пример 1. Найти канонические уравнения прямой и.

Решение. Выберем произвольную точку на прямой, пологая, например, .

Получим:

Решая эту систему, найдём ,. За направляющий вектор прямой примем векторное произведение векторови:

Следовательно, искомая прямая определяется уравнением

3. Параметрические уравнения прямой

Уравнение вида

; ;(37)

называются параметрическими уравнениями прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор. В уравнениях (37)рассматривается как произвольно изменяющийся параметр.

4. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Угол между двумя прямыми определяется как угол между их направляющими векторами инаходится по формуле:

(38)

Условие параллельности прямых:

(39)

Условие перпендикулярности прямых:

(40)

Возможны следующие четыре случая (рис. 13) взаимного расположения прямых

а – прямые сливаются: ;

б– прямые параллельны:, но;

в – прямые пересекаются: , но; ,-

компланарны, т.е. , .

Пример 2. Определить угол между прямыми:

;

Решение. Из канонических уравнений прямых определим их направляющие векторы и

Тогда согласно формуле(38) имеем:

Следовательно. .

Пример 3. Доказать, что прямые

и

пересекаются и найти их точку пересечения.

Решение. Из канонических уравнений прямых определим направляющие векторы ,и точки, через которые проходят прямые,.

Найдём смешанное произведение векторов:

, ,;

Следовательно, эти векторы компланарны, и две прямые лежат в одной плоскости. Прямые пересекаются, так как векторы инеколлинеарные.

Точку пересечения прямых найдём, например, так: приведём уравнение одной из прямых к параметрическому виду и из уравнения второй прямой найдём значение параметра , отвечающее точке пересечении.

Параметрические уравнения первой прямой: ;;

Тогда, подставляя эти выражения для в уравнение второй прямой, получим:

Следовательно, точка пересечения ;

;

5. Прямая и плоскость в пространстве. Угол между прямой и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью называется уголмежду прямой и её проекцией на эту плоскость (рис. 14).

Этот угол определяется по формуле:

(41)

Условие параллельности прямой и плоскости:

, т.е. (42)

Условие перпендикулярности:

, т.е. (43)

Пример 4. Найти угол между прямой и плоскостью.

Решение. Найдём направляющий вектор прямой:

Из уравнения плоскости заключаем, что нормальный вектор плоскости . Тогда по формуле (41) имеем:

;

Пример 5. Найти точку пересечения прямой и плоскости

Решение. Приведём уравнение прямой к параметрическому виду, приравнивая к каждоё из трёх данных отношений:

, ,

Подставляя в уравнение плоскости, получим значение параметра, отвечающее точке пересечения:

Искомая точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты:

; ;.

Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые

, .

Решение. Так как две прямые лежат в плоскости, то в ней лежат вектора - направляющий и, соединяющий точки и. Взяв текущую точку плоскостии соединив её с одной из точек, например,получим вектор, принадлежащий плоскости. Следовательно, векторы,икомпланарны, т.е. . Получим:

.

Для наглядности полезно сделать рис. 15.

6. Вопросы для самопроверки

Как определяются общее уравнения прямой?

Какие уравнения прямой называются каноническими? Что называется направляющим вектором прямой?

Как перейти от общих уравнений прямой к каноническим?

Как записываются параметрические уравнения прямой?

Как определяется угол между прямыми? Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности между прямой и плоскостью.

7. Примеры для самостоятельного решения

   1. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку : а) вектору; б) прямой; в) оси

   2. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точки и.

   3. Составить канонические уравнения прямой

   4. Найти острый угол между прямыми и.

   5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярную к прямойи лежащей в плоскости.

   6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно линии пересечения плоскостейи.

   7. Доказать, что прямые ипересекаются, и найти их точку пересечения.

   8. Вычислить угол между прямой и плоскостью.

   9. Найти проекцию точки на плоскость.

   10. Провести плоскость через прямую и точку.

   11. Проверить, что прямые ипересекаются. Найти уравнения плоскости, в которой они лежат.

   12. Вычислить расстояние точкиот прямой.

   13. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую ,,параллельно прямой.

   14. Найти точку, симметричную точке относительно плоскости, проходящей через,и.

8. Ответы к примерам

5.7.1. а) б)

в) 5.7.2.,,

5.7.3. 5.7.4.

5.7.5. 5.7.6.

5.7.7. 5.7.8.

5.7.9. 5.7.10.

5.7.11. 5.7.12.

5.7.13. 5.7.14.