§ 3. Кривые второго порядка
Литература: (1, с.135-149; 2, с. 120-138; 3, с. 52-64; 4, с. 52-64)
Определение кривой второго порядка
Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат. В общем случае это уравнение имеет вид:
(18)
где коэффициент – действительные числа и хотя бы одно из чисел А, В или С отлично от нуля.
К кривым второго порядка относятся линии: окружность, эллипс, гипербола, парабола.
Окружность
Окружностью называется совокупность точек, равноудалённых от одной и той же точки, называется центром. Уравнение окружности имеет вид:
(19)
где
- координаты центра окружности, а
- радиус окружности.
Пример 1. Составить
уравнение окружности, которая проходит
через точку
и её центр находится в точке
.
Решение. Воспользуемся
формулой (19). Имеем
;
.
Найдём радиус окружности
.
Тогда уравнение окружности имеет вид:
Эллипс
Эллипсом называется совокупность точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называется фокусами, есть величина постоянная. Каноническое (простейшее) уравнение эллипса имеет вид:
(20)
где
- большая.
- малая полуоси эллипса (рис. 6)
- фокусное расстояние.
Связь между
,
и
определяется формулой:
(21)
Форма эллипса
(мера его сжатия) характеризуется
эксцентриситетом
:
(22)
Для эллипса
,
так как
.
Фокусы эллипса лежат на большой оси.
Пример 2. Составить
каноническое уравнение эллипса,
проходящего через точки
и
.
Решение. Каноническое
уравнение эллипса имеет вид (20):
.
Так как точки
и
лежат на эллипсе, то их координаты
удовлетворяют уравнению (20).
Имеем:
Решая систему
получим:
,
.
Следовательно, уравнение эллипса имеет
вид:
.
Гипербола
Гиперболой называется совокупность точек, разность расстояний которых до двух данных точек, называется фокусами, есть величина постоянная.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
(23)
где
- вещественная,
- мнимая полуоси (рис. 7).
- фокусное расстояние.
Связь между
,
и
определяется соотношением:
(24)
Г
ипербола
имеет две асимптоты, уравнения которых:
(25)
Отношение
называется эксцентриситетом гиперболы.
Фокусы гиперболы расположены на
действительной оси.
Пример 3. Составить
каноническое уравнение гиперболы,
проходящей через точку
,
зная, что её эксцентриситет равен
.
Решение. Такая
точка М лежит на гиперболе, то её
координаты удовлетворяют уравнению
гиперболы. Подставив
,
в уравнение (23), получим
.
Так как эксцентриситет
,
то по условию получим
,
или
.
Используя формулу (24), имеем
.
Следовательно,
.
Таким образом, уравнение искомой
гиперболы имеет вид
.
Парабола
Параболой называется совокупность точек, равноудалённых от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Каноническое уравнение параболы:
(26)
где
- параметр,
,
определяет расстояние от фокуса
до директрисы
(рис. 8)
Другие виды уравнений параболы (рис. 9)
Пример 4. Парабола
симметрична оси Ох, проходит через точку
,
а вершина его лежит в начале координат.
Составить её уравнение.
Решение. Так как
парабола проходит через точку
с положительной абсциссой, а её осью
служит ось Ох, то уравнение параболы
имеет вид
.
Подставив координаты тачки А в это
уравнение, получим
,
.
Следовательно, искомое уравнение имеет
вид
.
Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому
Общее уравнение линии второго порядка имеет вид (18).
Задача упрощения такого уравнения состоит в том, чтобы в преобразованном уравнении, были устранены: 10 член, содержащий произведение текущих координат, и 2) члены, содержащие первые степени двух координат или, по крайней мере, одной из них.
Рассмотрим случай
упрощения уравнения кривой второго
порядка, когда оно не содержит произведения
текущих координат, т.е. имеет вид:
.
Путём дополнения до полного квадрата
и параллельного переноса такое уравнение
сводится к одному из канонических
уравнений.
Пример 5. Какую
линию определяет уравнение
?
Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом:
,
Обозначим:
,
.
Тогда уравнение
в новой системе
с центром в точке
примет вид:
,
или
.
Т
аким
образом, заданная кривая является
эллипсом (рис. 10).
Пример 6. Какую
линию определяет уравнение
Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом:
;
;
.
Обозначим:
,
.
Тогда уравнение
в системе
с центром в точке
примет вид
.
Таким образом:
данная кривая – парабола с вершиной в
точке
(рис. 11).
Замечание. Если уравнение линии второго порядка содержит произведение текущих координат, то путём поворота осей и надлежащим выбором угла поворота следует добиться того, чтобы преобразованном уравнении отсутствовало произведение текущих координат.
Пример 7. Привести к простейшему виду уравнение кривой
.
Решение. Применим формулы поворота (6).
;
.
Выберем угол
так, чтобы
.
Тогда
.
Следовательно,
уравнение кривой в системе
примет вид:
или
- эллипс (рис. 12).
Вопросы для самопроверки
Как определяется кривая второго порядка?
Что называется окружностью и как записывается её каноническое уравнение?
Как определяется эллипс и каково его каноническое уравнение?
Определите гиперболу и запишите её каноническое уравнение.
Какая линия называется параболой и какой вид имеет её каноническое уравнение?
Как приводится уравнение кривой второго порядка к каноническому виду?
Примеры для самостоятельного решения
Написать уравнение окружности с центром в точке
и радиусом, равным 6.Ставить уравнение окружности, проходящей через точки
и
,
если её центр лежит на прямой
.Найти длинны осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса
.Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку
,
если асимптоты гиперболы имеют
уравнения
.Составить простейшее уравнение параболы, если известно, что её фокус находится в точке пересечения прямой
с осью Ох.Определить, какие кривые определяются следующими уравнениями. Построить рисунки.
а)
;
б)
;
в)
:
г)
;
д)
.
Ответы к примерам
3.8.1.
3.8.2.
3.8.3.
;
;
;
;
3.8.4.
3.8.5.
3.8.6. а) окружность,
центр в точке
,
б) эллипс
,
в) гипербола
,
г) парабола
,
д) эллипс
;
;
в системе
.