
- •Подпространства линейного пространства Определение линейного подпространства
- •Пересечение и сумма подпространств линейного пространства
- •Пересечение и сумма
- •Евклидово пространство
- •Норма матрицы
- •Объяснение «на пальцах»
- •Неравенство Коши — Буняковского
- •Неравенство треугольника
- •Евклидова геометрия
- •Ортогональная система
- •Ортогонализация
- •Ортогональное разложение
- •Ортонормированный базис
- •Ортогональные системы векторов
- •Свойства
- •Линейные операторы в евклидовом и унитарном пространствах
- •Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
- •Правило отыскания собственных чисел и собственных векторов
Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
Наиболее
просто устроены матрицы диагонального
вида
.
Возникает вопрос, нельзя ли найти базис,
в котором матрица линейного оператора
имела бы диагональный вид. Такой базис
существует.
Пусть дано линейное
пространство Rnи действующий в
нем линейный оператор A; в этом случае
оператор A переводит Rnв себя, то
есть A:Rn→ Rn.
Определение.Ненулевой
вектор
называется
собственным вектором оператора A, если
оператор A переводит
в
коллинеарный ему вектор, то есть
.
Число λ называется собственным значением
или собственным числом оператора A,
соответствующим собственному вектору
.
Отметим некоторые свойства собственных
чисел и собственных векторов.
1. Любая
линейная комбинация собственных векторов
оператора
A, отвечающих одному и тому же собственному
числу λ, является собственным вектором
с тем же собственным числом.
2.
Собственные векторы
оператора
A с попарно различными собственными
числами λ1, λ2, …, λmлинейно независимы.
3. Если собственные
числа λ1=λ2= λm= λ, то
собственному числу λ соответствует не
более m линейно независимых собственных
векторов.
Итак, если имеется nлинейно
независимых собственных векторов
,
соответствующих различным собственным
числам λ1, λ2, …, λn, то
они линейно независимы, следовательно,
их можно принять за базис пространства
Rn. Найдем вид матрицы линейного
оператора A в базисе из его собственных
векторов, для чего подействуем оператором
A на базисные векторы:
тогда
.
Таким образом, матрица линейного
оператора A в базисе из его собственных
векторов имеет диагональный вид, причем
по диагонали стоят собственные числа
оператора A.
Существует ли другой
базис, в котором матрица имеет диагональный
вид? Ответ на поставленный вопрос дает
следующая теорема.
Теорема.Матрица
линейного оператора A в базисе
(i
= 1..n) имеет диагональный вид тогда и
только тогда, когда все векторы базиса
- собственные векторы оператора A.
Правило отыскания собственных чисел и собственных векторов
Пусть
дан вектор
,
где x1, x2, …, xn- координаты
вектора
относительно
базиса
и
-
собственный вектор линейного оператора
A, соответствующий собственному числуλ, то есть
.
Это соотношение можно записать в
матричной форме
.
(*)
Уравнение
(*) можно рассматривать как уравнение
для отыскания
,
причем
,
то есть нас интересуют нетривиальные
решения, поскольку собственный вектор
не может быть нулевым. Известно, что
нетривиальные решения однородной
системы линейных уравнений существуют
тогда и только тогда, когда det(A - λE) = 0.
Таким образом, для того, чтобы λ было
собственным числом оператора A необходимо
и достаточно, чтобы det(A - λE) = 0.
Если
уравнение (*) расписать подробно в
координатной форме, то получим систему
линейных однородных уравнений:
(1)
где
-
матрица линейного оператора.
Система (1) имеет ненулевое решение, если ее определитель D равен нулю
Получили уравнение для нахождения собственных чисел. Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть - характеристическим многочленом матрицы (оператора) A. Если характеристический многочлен не имеет вещественных корней, то матрица A не имеет собственных векторов и ее нельзя привести к диагональному виду. Пусть λ1, λ2, …, λn- вещественные корни характеристического уравнения, причем среди них могут быть и кратные. Подставляя по очереди эти значения в систему (1), находим собственные векторы.
Пример 12.Линейный
оператор A действует в R3по закону
,
где x1, x2, .., xn- координаты
вектора
в
базисе
,
,
.
Найти собственные числа и собственные
векторы этого оператора.Решение.Строим матрицу этого оператора:
.
Составляем систему для определения
координат собственных векторов:
Составляем
характеристическое уравнение и решаем
его:
.
λ1,2= -1, λ3= 3.
Подставляя
λ = -1 в систему, имеем:
или
Так
как
,
то зависимых переменных два, а свободное
одно.
Пусть x1- свободное
неизвестное, тогда
Решаем
эту систему любым способом и находим
общее решение этой системы:
Фундаментальная
система решений состоит из одного
решения, так как n - r = 3 - 2 = 1.
Множество
собственных векторов, отвечающих
собственному числу λ = -1, имеет вид:
,
где x1- любое число, отличное от
нуля. Выберем из этого множества один
вектор, например, положив x1= 1:
.
Рассуждая аналогично, находим
собственный вектор, отвечающий
собственному числу λ = 3:
.
В пространстве R3базис состоит
из трех линейно независимых векторов,
мы же получили только два линейно
независимых собственных вектора, из
которых базис в R3составить нельзя.
Следовательно, матрицу A линейного
оператора привести к диагональному
виду не можем.
Пример 13.Дана матрица
.
1. Доказать, что вектор
является
собственным вектором матрицы A. Найти
собственное число, соответствующее
этому собственному вектору.
2. Найти
базис, в котором матрица A имеет
диагональный вид.Решение.1. Если
,
то
-
собственный вектор
.
Вектор (1, 8, -1) - собственный вектор.
Собственное число λ = -1.
Диагональный
вид матрица имеет в базисе, состоящем
из собственных векторов. Один из них
известен. Найдем остальные.
Собственные
векторы ищем из системы:
Характеристическое
уравнение:
;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ2- 1) = 0
λ1= -3, λ2= 1, λ3= -1.
Найдем собственный вектор, отвечающий
собственному числу λ = -3:
Ранг
матрицы этой системы равен двум и равен
числу неизвестных, поэтому эта система
имеет только нулевое решение x1=
x3= 0. x2здесь может быть
любым, отличным от нуля, например, x2= 1. Таким образом, вектор (0,1,0) является
собственным вектором, отвечающим λ =
-3. Проверим:
.
Если λ = 1, то получаем систему
Ранг
матрицы равен двум. Последнее уравнение
вычеркиваем.
Пусть x3- свободное
неизвестное. Тогда x1= -3x3,
4x2= 10x1- 6x3= -30x3- 6x3, x2= -9x3.
Полагая
x3= 1, имеем (-3,-9,1) - собственный
вектор, отвечающий собственному числу
λ = 1. Проверка:
.
Так как собственные числа действительные
и различны, то векторы, им отвечающие,
линейно независимы, поэтому их можно
принять за базис в R3. Таким образом,
в базисе
,
,
матрица
A имеет вид:
.
Не всякую матрицу линейного оператора
A:Rn→ Rnможно привести к
диагональному виду, поскольку для
некоторых линейных операторов линейно
независимых собственных векторов может
быть меньше n. Однако, если матрица
симметрическая, то корню характеристического
уравнения кратности m соответствует
ровно m линейно независимых векторов.
Определение.Симметрической
матрицей называется квадратная матрица,
в которой элементы, симметричные
относительно главной диагонали, равны,
то есть в которой
.Замечания.1. Все собственные
числа симметрической матрицы вещественны.
2. Собственные векторы симметрической
матрицы, соответствующие попарно
различным собственным числам, ортогональны.
В качестве одного из многочисленных
приложений изученного аппарата,
рассмотрим задачу об определении вида
кривой второго порядка.
Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов
В
разделе "Матрица
линейного преобразования"
мы выяснили, что каждое линейное
преобразование
-мерного
линейного пространства в фиксированном
базисе задается матрицей. Если меняется
базис, то, как правило, меняется и матрица.
Возникает вопрос, нельзя ли найти базис,
в котором матрица линейного преобразования
имеет наиболее простой вид. В общем
случае выбрать такой базис довольно
сложно. Это связано с нахождением
нормальной жордановой формы матрицы,
изложение которого можно найти в более
обстоятельных учебниках по линейной
алгебре, например, в [4],
[5].
Следующая теорема отвечает на этот
вопрос в более простом случае.
Теорема
19.2
Пусть
--
линейное преобразование
-мерного
линейного пространства. Матрица линейного
преобразования имеет диагональный вид
|
(19.5) |
тогда
и только тогда, когда векторы базиса
являются собственнными векторами
преобразования
,
соответствующими собственным числам
.
Доказательство.
Пусть преобразование
имеет
линейно
независимых собственных векторов
,
соответствующих собственным числам
.
Так как векторы
линейно
независимы, то они образуют базис. Найдем
матрицу преобразования
в
этом базисе. Ее первый столбец является
координатным столбцом вектора
.
Так как
--
собственный вектор, то
Координатный
столбец этого вектора
.
Второй столбец матрицы
является
координатным столбцом вектора
.
Так как
--
собственный вектор, то
Координатный
столбец этого вектора
.
Вычисляя аналогично остальные столбцы,
получаем, что матрица линейного
преобразования
в
базисе
имеет
вид (19.5).
Первая часть теоремы доказана.
Пусть
в некотором базисе
матрица
линейного преобразования имеет
вид (19.5).
Найдем образ вектора
.
Этот вектор имеет координатный столбец
,
его образ имеет координатный столбец
Следовательно,
--
собственное число преобразования
,
а
--
соответствущий ему собственный вектор.
Аналогично находим, что любой базисный
вектор
является
собственным вектором преобразования
,
соответствующим собственному числу
.
Следствие
19.2
Если
у матрицы
порядка
существует
набор из
линейно
независимых собственнных векторов,
соответствующих собственным числам
,
то матрица
подобна
диагональной матрице с числами
на
диагонали.
Теорема
19.3
Пусть
собственные векторы
преобразования
соответствуют
собственным числам
,
среди которых нет равных друг другу.
Тогда система векторов
является
линейно независимой.
Доказательство.
Воспользуемся методом математической
индукции по числу векторов. Если
,
то утверждение теоремы следует из того,
что собственный вектор -- ненулевой.
Пусть
утверждение верно для системы векторов
.
Составим линейную комбинацию векторов
и
приравняем ее к нулю
|
(19.6) |
К
обеим частям применим преобразование
По определению линейного преобразования получим
Так
как
--
собственные векторы, то
Умножим
равенство (19.6)
на
и
вычтем из последнего равенства. Получим
Так
как по предположению индукции векторы
линейно
независимы, то
По
условию
,
следовательно,
.
Подставим эти значения в (19.6),
получим
.
Получили, что из равенства (19.6)
следует
,
то есть векторы
линейно
независимы.
Следствие
19.3
Если
матрица
порядка
имеет
попарно
различных собственных чисел, то она
подобна диагональной матрице.