Норма матрицы

Нормой матрицы называетсявещественное число , удовлетворяющеепервым трёмиз следующих условий:

1. , причём только при ;

2. , где ;

3. ;

4. .

Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется мультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называетсяподчинённойпо отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы мультипликативны. Немультипликативные нормы для матриц являются простыми нормами, заданными в линейных пространствах матриц.

Матричная норма из называется согласованной с векторной нормой из и векторной нормой из если справедливо:

для всех .

Объяснение «на пальцах»

• Норма матрицы представляет собой некоторое число, отличное от нуля. Норма нужна для того, чтобы сравнивать, какая матрица «больше», а какая «меньше».

• Норма матрицы есть некоторая числовая характеристика отклонения ее от нуля. (Но это скорее относится к норме вообще).

8.4

Угол между векторами

Углом между векторами и называют угол , для которого

9

Неравенство Коши — Буняковского

Неравенство Коши́ — Буняко́вскогосвязываетнормуискалярное произведениевекторов вевклидовом пространстве. Это неравенство эквивалентнонеравенству треугольникадля нормы.

Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварцаинеравенством Коши — Буняковского — Шварца(«неравенство КБШ»), хотя работыШварцана эту тему появились только спустя 25 лет после работБуняковского^[1]. Конечномерный случай этого неравенства называетсянеравенством Кошии был доказанКошив1821 году.

Формулировка

Пусть дано линейное пространство со скалярным произведением . Пусть  — норма, порождённая скалярным произведением, то есть . Тогда для любых имеем:

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы и пропорциональны (коллинеарны).

Неравенство треугольника

Нера́венство треуго́льникавгеометрии,функциональном анализеи смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон. Неравенство треугольника включается какаксиомав определениеметрического пространства,нормыи т.д.; также, часто являетсятеоремойв различных теориях.

Евклидова геометрия

Пусть дан треугольник Тогда причёмравенство достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка лежит строго между и .

ЕвклидвНачалахдоказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из неё выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника.

10

Ортогональная система

Ортогона́льная систе́маэлементоввекторного пространствасоскалярным произведением— такое подмножество векторов , что любые различные два из нихортогональны, то есть ихскалярное произведениеравно нулю:

.

Ортогональная система в случае её полноты может быть использована в качестве базисапространства. При этом разложение любого элемента может быть вычислено по формулам: , где .

Случай, когда норма всех элементов , называетсяортонормированной системой.