5. Возможности замещения ресурсов

Рассмотрим ПФ с двумя ресурсами:

, 0<а<1. (20)

y – объем конечной продукции народного хозяйства,

х₁ – общее количество основных фондов,

x₂ – общее количество трудовых ресурсов.

Для нее δ=1. Поэтому в данном случае можно построить функцию, которая будет показывать объем продукции на 1 трудящегося: ,

–фондовооруженность – отношение объема основных фондов к численности трудящихся.

Характеристикой возможности взаимного замещения ресурсов является изокванта. Изокванта – совокупность таких сочетаний ресурсов, при которых может быть произведено одно и то же определенное количество продукции у₀:

(21)

Рассмотрим в пространстве ресурсов произвольный луч, исходящий из начала координат и лежащий в положительном ортанте. Данному лучу соответствует множество точек:

х⁰ – положительный единичный направляющий вектор (орт).

Точкам луча L соответствует выражение:

f(х)=f(tx⁰)=t^δf(х⁰)

Если при t=t₀ выполняется y₀=t₀^δ·f(х⁰), тогда луч L будет пересекаться с изоквантой Q(y₀) в точке x^*=t₀х⁰.

В точках луча tх⁰, лежащих к началу координат ближе, чем точка x^* (т.е. при t<t₀), будет у < у₀. В точках луча, лежащих от начала координат дальше, чем точка x^* (при t > t₀), имеем у > у₀.

Свойства изоквант:

• изокванты не пересекаются друг с другом;

• изокванта Q(y₀) разбивает неотрицательный ортант пространства ресурсов на 2 множества: в одном из которых у < у₀, в другом у > у₀, причем граница между этими множествами проходит по изокванте Q(y₀);

• большему выпуску продукции соответствует изокванта, более удаленная oт начала координат;

• изокванты не имеют общих точек с осями координат.

Одна из изоквант производственной функции изображена на рисунке. Луч L представлен на рис.1 линией OA.

Рис. 1

Изокванта Q(y₀) представляет собой зависимость x₂(x_l).

Неявный вид уравнения изокванты x₂(x_l):

Явный вид:

(22)

Изокванта x₂(x_l) имеет смысл количества трудовых ресурсов x₂, необходимых для получения заданного конечного продукта y₀ в зависимости от использующегося объема основных фондов x_l, и является монотонно убывающей функцией.

Продифференцировав f(x) вдоль изокванты (), получим:

. (23)

Величина γ – предельная норма замещения одного ресурса другим. Она показывает, сколько высвобождается 2-го ресурса при увеличении затрат 1-го ресурса, если выпуск продукции остается неизменным.

Из условия (10) получается, что γ≤0 (γ имеет отрицательную величину), т.к. при уменьшении использования одного из ресурсов для сохранения выпуска продукции использование другого ресурса надо увеличить.

γ=tgφ ≤ 0 (рис.1). Угол φ и величина γ меняются при движении вдоль изокванты Q(y₀).

Для ПФ имеем:

. (24)

Т.е. предельная норма замещения труда основными фондами γ обратно пропорциональна фондовооруженности (x₁/x₂). Каждая новая единица основных фондов высвобождает определенное количество трудовых ресурсов.

Линии, соответствующие определенным значениям нормы замещения γ₀, называются изоклиналями ПФ с двумя ресурсами; для функции (20) изоклинали имеют вид:

Отношение x₂/x₁ характеризуется тангенсом угла ξ наклона изоклинали (x₂/x₁=tgξ).

На рис.2 для ПФ (20) представлены две изокванты Q(у₀) и Q(у₁) и три изоклинали γ₁, γ₂ и γ₃, где (-γ₁) > (-γ₂) > (-γ₃).

Рис.2

γ_i = tgφ_i , i = 1, 2, 3,

уравнения изоклиналей: , i = 1, 2, 3.

В данном случае (для однородных ПФ) изоклинали – лучи, исходящие из начала координат.

Относительной характеристикой скорости изменения предельной нормы замещения вдоль изокванты является эластичность замещения ресурсов σ(x₁,x₂):

(25)

Эластичность замещения ресурсов σ позволяет охарактеризовать возможность замещения ресурсов в целом. Она показывает, на сколько процентов изменится отношение ресурсов x₂/x₁ вдоль изокванты, если изменить предельную норму замещения γ на 1%. Чем больше σ, тем шире пределы замещения ресурсов друг другом.

Для ПФ (20) эластичность замещения ресурсов σ имеет геометрическую интерпретацию (рис.2): она показывает, на сколько процентов необходимо повернуть изоклиналь (т.е. изменитьtgξ), чтобы tgφ изменился на 1%.

Другая форма представления эластичности замещения ресурсов:

Для ПФ (20) прологарифмируем предельную норму замещения:

получаем: