2.2. Теплоемкость гав и газовых смесей

2.2.1. Понятие теплоемкости

Экспериментально установлено, что величина теплоты, необходимая

для изменения температуры конкретного количества вещества системы, пропорциональна разности конечной и начальной температур:

Q = C (T₂ – T₁),

где С – коэффициент пропорциональности.

В общем случае коэффициент С характеризует физическое свойство

системы, которое называется т е п л о е м к о с т ь ю.

Количественно теплоемкость равна теплоте, которой обменивается с окружающей средой система при изменении ее температуры на один кельвин. Аналитически это определение записывается в виде

С = . (2.24)

За единицу теплоемкости принят джоуль на кельвин (Дж/К).

Теплоемкость, отнесенную к какой-либо количественной единице вещества, называют у д е л ь н о й. Для газов широко используются массовая, молярная и объемная удельные теплоемкости.

Массовая теплоемкость численно равна количеству теплоты, необходимому для изменения температуры одного килограмма газа на один кельвин.

Обозначают удельную массовую теплоемкость строчной буквой с и выражают в Дж/(кг· К).

Теплоемкость одного моля газа называют м о л я р н о й теплоемкостью. Ее обозначают и выражают в Дж/(моль· К).

Теплоемкость единицы объема газа при нормальных физических условиях именуют о б ъ е м н о й теплоемкостью. Ее обозначают с′ и выражают в Дж/(м³ ·К).

Массовая, молярная и объемная теплоемкости связаны соотношением:

с = ,(2.25)

где – молярная масса газа;

ρ – плотность газа при нормальных физических условиях.

Численное значение теплоемкости газа так же, как и теплоемкость твердых и жидких тел, зависит от его природы и уровня температуры, при которой она определяется.

Однако кардинальным отличием понятия теплоемкости газа от теплоемкости жидких и твердых тел является то, что на величину теплоемкости газа специфическое влияние оказывает характер процесса, в котором она вычисляется. Так, в адиабатном процессе, где dQ = 0, теплоемкость равна нулю. В процессе с постоянной температурой (T = const) теплоемкость равна бесконечности (c = ± ∞). Теплоемкость газа, присущую тому или иному процессу, принято обозначать индексом, характеризующим конкретный процесс. Если теплоемкость определяется в процессе при постоянном давлении, то ее обозначают c_p и т.д.

2.2.2. Теплоемкости c_p и c_v

В термодинамике широко используются две теплоемкости – c_p (в про-

цессе при постоянном давлении) и c_v (в процессе при постоянном объеме). Проанализируем их особенности. С этой целью представим два цилиндра с поршнями (рис. 2.2). В цилиндрах находится по одному килограмму одного и того же газа. Первоначальные значения давления и удельного объема в цилиндрах одинаковы. Поршень в первом цилиндре закреплен, а во втором – может свободно перемещаться. Поставим задачу: изменить температуру газа в каждом цилиндре на одну и туже величину dT.

. Рис. 2.2

Для цилиндра 1 запишем уравнение первого закона термодинамики в виде

dq_v = du + pdv.

Разделим его на dT и, принимая во внимание, что dv = 0, получим:

откуда

c_v = . (2.26)

Интегрированием уравнения (2.26) от начального до конечного состояния процесса получим связь между изменением внутренней энергии и

температуры:

∆ u = c_v ∆T. (2.27)

Проделав аналогичные операции с уравнением первого закона термодинамики для газа, находящегося во втором цилиндре, получим:

c_{p =} (2.28)

Отсюда следует соотношение между изменениями энтальпии и температуры в виде

∆i = c_p ∆T. (2.29)

Теплоемкости в процессах при постоянном давлении и постоянном объеме имеют не только различные математические выражения, но и различные числовые значения. Так, доказывается, что c_p >c_v. Это видно из сравнения уравнений (2.26) и (2.28). Поскольку при одинаковом изменении температуры величина di > du, то, следовательно, c_p > c_v.

Обращаясь к рассмотренному примеру, можно пояснить сущность неравенства c_p > c_v. Так, при одинаковом изменении температуры газа в цилиндрах величина теплоемкостей определяется количеством подведенной теплоты. Ко второму цилиндру необходимо подвести больше теплоты, так как требуется не только изменить температуру газа на одно и то же число градусов, но и совершить некоторую работу расширения.

Можно определить, на сколько c_p > c_v. Для этого вычтем из (2.28) выражение (2.26) и, учитывая соотношение (1.6), получим:

c_p – c_v =

Дифференцируя уравнение состояния для 1 кг газа, будем иметь:

d(pv)=RdT

Следовательно,

c_p – c_v = R. (2.30)

Выражение (2.30) называется у р а в н е н и е м М а й е р а. Оно показывает, что для любого газа разность между теплоемкостями при p=const и v=const численно равна величине газовой постоянной этого газа.

Отношение теплоемкостей c_p и c_v называют п о к а з а т е л е м

а д и а б а т ы и обозначают буквой к, т.е.

к =. (2.31)

Величина к зависит от природы газа и всегда больше единицы. По известным значениям R и к можно вычислить как c_p, так и c_v, используя следующие выражения:

с_p = R , (2.32)

c _v = R . (2.33)

2.2.3. Зависимость теплоемкости от температуры

Теоретические исследования и опытные данные показывают, что при повышении температуры газа колебательные движения атомов в молекуле становятся интенсивнее. При этом для повышения температуры газа на каждый градус необходимо все большее количество энергии в форме теплоты. Таким образом, теплоемкость газа представляет собой функцию температуры. В общем случае зависимость теплоемкости газа от температуры можно представить в виде степенного ряда

c = c₀ + α t + β t² + t³ +… , (2.34)

где c₀ – значение теплоемкости при t = 0 ⁰С;

α , β, – числовые коэффициенты.

Значения c ₀, α, β, определяются эмпирическим путем.

В качестве примера приведем квадратичную зависимость молярной теплоемкости азота от температуры:

= 29,02 + 0,00531t + 0,000000127 t ², кДж/(моль∙ К).

В диапазоне температур, имеющих место в современных тепловых машинах, зависимость теплоемкости от температуры с достаточной степнью

точности можно считать линейной. Это значит, что в уравнении (2.34)

можно учитывать только два первых слагаемых, т.е.:

c = c₀ +α t (2.35)

Теплоемкость, соответствующую данной температуре, называют

и с т и н н о й. и вычисляют по уравнению (2.34) или (2.35).

В теплотехнических расчетах часто возникает необходимость знать с р е д н е е значение теплоемкости в определенном интервале температур.

Средней теплоемкостью c_ср данного процесса в интервале температур от t₁ до t₂ называют отношение теплоты процесса q_1-2 к разности температур t₂ – t₁ , т.е.

c_ср = .

После подстановки значений q_1-2 =и с из (2.35), получим:

с _{с р} =с₀ + α. (2.36)

В Приложении табл.5 приведены значения истинной теплоемкости отдельных газов, а в табл. 6 – их средние значения в диапазоне температур от

0 до 2300 ⁰С. При необходимости вычисления средней теплоемкости в диапазоне температур от t₁ до t₂ можно применить формулу

с_ср (2.37)

Показатель адиабаты к также зависит от температуры. Это можно показать, представив соотношение (2.31) в виде

к = (2.38)

Экспериментальное изучение зависимости c = f (t) для идеальных газов показывает, что у каждого газа существует некоторый интервал температур, в котором его теплоемкость практически постоянна.

Идеальный газ в том интервале температур, где теплоемкость не изменяется, называется с о в е р ш е н н ы м..

Соотношения (2.27) и (2.29) справедливы только для совершенного оаза

Опытное изучение зависимости теплоемкости газов от давления показывает, что это влияние незначительное, и в практических расчетах его можно не учитывать.

2.2.4 Теплоемкость газовых смесей

В справочной литературе приводятся теплоемкости только для отдельных газов, в то время как при тепловых расчетах приходится встречаться с газовыми смесями. Ниже приведены выражения для вычисления теплоемкости смеси газов, если она задана парциальными давлениями, массовыми или объемными долями.

с_{p см} =, c_{v cм} =. (2.39)

c_{p см} = ,c_{v cм} = (2.40)

. (2.41)

Для смеси газов справедливо уравнение Майера, которое будет иметь вид

с_{p см} – с_{v см} = R _см. (2.42)