2. Размещение с повторениями

Множество с заданным порядком расположения элементов называют упорядоченным множеством. Например:и т.д.

Пусть множество М состоит изэлементов .

Любая строка длиной , составленная из элементов множества М, называется размещением с повторениями изэлементов по.

Словосочетание «с повторениями» подчеркивает тот факт, что в строке , где, некоторые элементы могут повторяться. Например, слово «папа»есть размещение с повторениями из двух элементов (п иа), но количество элементов равно четыре.

Число всех размещений с повторениями из элементов по зависит, только оти (а не от природы элементов множестваМ).

Количество всех упорядоченных выборов размещений из элементов поэлементов в каждом размещении обозначается. Из правила произведения следует, что

Пример 1. Сколькими способами школьников могут разместиться поаудиториям, если для каждого школьника обязательным условием является только номер аудитории, куда он должен войти, а не занимаемое им в аудитории место?

Решение.Перенумеруем всех школьников по прибытию к месту назначения и условимся, кого из них мы считаем первым, кого вторым и т.д. Пустьномер выбранной аудитории, первым студентом,- номер аудитории, выбранной вторым студентом и т.д. Строка полностью характеризует распределение школьников по аудиториям. Каждое из чисел может принимать любое целое значение от 1 до. Таким образом, различных распределений по аудиториям будет столько, сколько строк длиноюможно составить из элементов множества. Следовательно, их будет.

3. Размещения без повторений, перестановки, подстановки

На практике часто возникает необходимость в подсчёте числа строк (той или иной длины), составленных из элементов данного множества и подчинённых некоторым дополнительным ограничениям. Рассмотрим одну из таких задач. Пусть множествосостоит изэлементов, амерные строки ,удовлетворяющие следующему условию: все элементы-различныи, естественно, такие строки могут существовать только для.

Любая мерная строкауказанного вида называетсяразмещением без повторенийизэлементов поили просторазмещением из элементов по.Число всех размещений изэлементов пообозначается.

Пример 2. В группе 20 студентов. Сколькими способами можно назначит старосту и

помощника старосты группы?

Решение. Из 20 студентов старосту можно выбрать только 20 способами. Помощника из оставшихся 19 студентов можно выбрать только 19 способами. Поскольку, для каждого выбранного старосты можно подобрать помощника только 19 способами, то общее число всех возможных способов назначить в группе из 2-х человек старостой и помощника старосты, будет всего- число размещений из 20 по два.

Пример 3. Для праздника в школе ученики раскрашивали флажки в разные цвета. Верхнюю половину флажка красили в один цвет, а нижнюю – в другой. Для раскраски у них имелись синяя, красная, жёлтая и зелёная краски. Сколько различных двухцветных флажков могли подготовить дети к празднику?

Решение.В этом примере тоже размещение из 4 по 2, то есть.

Пример 4.Сколько двухзначных, трёхзначных или четырёхзначных чисел по отдельности из цифр 1, 2, 3, 4, 5 можно составить, если цифры в любом наборе не повторяются?

Решение.Двухзначных чиселТрёхзначных чисел. Четырёхзначных чисел.

Анализируя аналогичные примеры с числами 1, 2, 3, 4, … можно заметить следующую закономерность, которую сформулируем в виде отдельной теоремы.

Теорема 1.Число размещений из элементов поравно

(1) .

Доказательство. Пусть множествосостоит изэлементов. Рассмотриммерные строки ,удовлетворяющие следующему условию: все элементы-различны.

Чтобы найти заметим, что для выбора элементаимеетсявозможностей, если элементвыбран, то для выбора элементаостаётсявозможностей, если уже выбраны элементыи, то для выбора элементаостаётсявозможностей и т.д. Следовательно, пользуясь правилом произведения, находим в итоге, что верно равенство (1).

Задача. Найти количество натуральных чисел, которые могут быть записаны с помощью цифр 0, 1, 2, …, 8, 9 так чтобы каждая цифра встречалась в записи не более одного раза.

Решение. Найдём количество всевозможныхчленных перестановок цифр, где всеразличны между собой,Число всевозможныхчленных перестановок из 10 цифр равно. Количество техчленных перестановок, которые начинаются с цифры 0, равно количествучленных перестановок из оставшихся цифр 1, 2,…,9, т.е.(при). Поэтому количество всевозможныхчленных перестановок указанного вида составляет, ().

Таким образом, количество искомых чисел равно:

Особо важными являются частные случаи, когда число , т.е. в строке участвуют только один элемент (одноэлементные строки), тогда равенства:очевидны.

Если же , т.е., когда в строке участвуютвсе элементымножество(причём каждый по одному разу). Тогда.

Обычно к этому добавляют равенство согласно определению.

Произведение подряд идущих первых натуральных чисел называют«эн - факториалом» (происходит от английского языка, смысл, которого примерно переводится как «состоящий из первых множителей натурального ряда чисел»). Обозначается

Приведём таблицу значений первых десяти факториалов

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n!	1	2	6	24	120	720	5040	40320	362880	3628800

Как видно из таблицы, значение растёт стремительно быстро.

Рассмотрим задачу: Сколькими способами 10 человек могут занять очередь в банкомат для получения зарплату.

Решение. Первым может быть любой из десяти человек (десять способов), вторым любой из оставшихся девяти (девять способов), третьим любой из оставшихся восьми (восемь способов), четвёртым любой из оставшихся семи (семь способов), и т.д. В результате получим. Это число и есть общее количество всех способов, которыми могут десять человек образовать очередь.

Вывод. Для того чтобы найти число всех способов, которыми могут десять человек образовать очередь, необходимо перемножить число всех возможных способов занятия каждым из них места в очереди.

Отметим любопытное свойство факториала (сязвь с целой частью)

Число нулей в конце произведения вычисляется по формуле:

где функция обозначает, целую часть вещественного числа.

Найдём к примеру

т.е. в конце числа окажется ровно 16 нулей.

Задание. Найти число нулей в конце числадля показателей степени

Как уже выше было отмечено, когда число , т.е. когда в строке участвуют все элементы из множества(при этом каждый по одному разу) представляет особый теоретический и практический интерес. Этот случай приводит нас к новым алгебраическим понятиям: перестановки и подстановки, имеющие важные применения в различных областях математики и её приложениях.

Перестановками из n различных элементов называют всевозможное (слева на право)упорядочивание данного конечного множествасостоящего изn различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок определяется равенством:

₍₂₎

где (читается «эн – факториа»)

Примечание. Поскольку, пустое множество (т.е. множество, не содержащее ни одного элемента) можно упорядочить единственным способом, то принято обозначать .

Рассмотрим одно важное понятие, связанное с понятием перестановок.

Если каждому элементу множества по некоторому правилу ставится в соответствие элемент того же множества, то говорят, что даноотображение множествав себя.

Пример 5. Пусть множество. Тогда следующие действия будут отображениями в себя:

.

Пример 6. Пусть дано множество. Тогда отображениями множества на себя будут:

и т.д. Очевидно, что общее число таких отображений будет 6!=720 (почему?).

Следует запомнить, что отображения на себя – это действие, при котором происходят различные упорядочения элементов заданного конечного множества , при этом на первой строке указываются элементы множества(в произвольном виде упорядочения), а во второй строке, указывается какой элемент куда отображается.

К примеру, отображение 2) может быть переписано в виде:

илии т.д.

Здесь очень важно чтобы каждому элементу сопоставить один конкретный элемент того же множества, при этом в отображении участвуют все элементы без исключения и по одному разу. В алгебре такие отображения называются «подстановками» и достаточно полно изучаются теория перестановок и подстановок в связи построением теории определителей произвольного порядка, теории конечных групп, и т.д. [2]. Множество подстановок имеет широкое применение в теории конечных групп, симметрических многочленов и т.д.

Примеры:

а) б)

Решение.

а) По определению факториала имеем

;

После несложных упрощений получим равенство . Ответ:.

б) Согласно определениюимеем равенство.

После несложных упрощений получим уравнение .

Следовательно, Ответ:.

Вычислим значения арифметических функций, связанные с «факториалами».

Пусть функция определена равенствами:

с)?д)?.

Решение :

с) Дляимеем

д) Дляимеем

.

Задание.Пустьтрёхзначное число по основанию 10. Покажите, что множество существования решения уравнения

имеет положительную вероятность, и найдите эту вероятность.