3.Теоретико-множественная трактовка, алгебра событий

Определим основные понятия теории вероятностей, следуя теоретико-множественному подходу, разработанные академиком Колмогоровым А.Н. в 1933 году.

Пусть производится некоторый опыт (эксперимент) со случайным исходом. Множествовсех возможных взаимоисключающих исходов данного опыта называетсяпространством элементарных событий, а сами исходы являются элементарными событиями (или «элементами», «точками» пространства).

Случайным событием (или просто событием) называется любое подмножество множества, есликонечное или счетное (т.е. элементы этого множества можно пронумеровать с помощью множества натуральных чисел), при этом считается.

Элементарные события, входящие в подмножество пространства, называютсяблагоприятствующимисобытиями ксобытию .

Множество всегда являетсядостоверным событием.Ему благоприятствует любое элементарное событие, которое в результате данного опыта непременно произойдёт.

Пустое множество всегда являетсяневозможным событием, то есть в результате данного опыта оно произойти не может. Над событиями можно определить основные операции существующие для множеств.

Пусть являются элементами пространства.

В формулировках многих задач при случайном выборе (чего-либо) часто употребляется слова «наудачу», «случайным образом». Эти слова означает, что все комбинации элементов, которые могут быть выбраны в рассмариваемом эксприменте, равновозможны.

Приведем основные алгебраические операции над событиями в данном элементарном пространстве .

Суммой (или объединением) двух событийи называется такое событие, которое выражает появление хотя бы одного из событийА или В, и обозначаетсяА+В (или АВ).Другими словами, под событиемА+Впонимают событие, которое произошло при тех исходах, когда произошло или событиеили событие или оба произошли одновременно, т.е. произошло хотя бы одно из событийили. Достоверное событиеизображается прямоугольником, элементарные случайные события-точками прямоугольника. На рисунке 1, приведенадиаграммаЭйлера-Венна для сложения двух событий по аналогии с операцией сложения двух множеств:

рис. 1

Произведениемдвух событийи называется событие, состоящее из тех элементарных исходов, которые одновременно входят как вА так иВ (обозначаетсяА·В (или). Другими словами,А·В означает событие, при котором событияА иВ происходят одновременно. Действие произведения над событиями можно наглядно иллюстрировать с помощьюдиаграммы Эйлера-Венна.Достоверное событиеизображается прямоугольником, случайное событие - областью внутри прямоугольника. Действие произведения над событиями можно изобразить геометрически, оно показано на рис. 2.

рис. 2

Пример. Каждый из трех стрелков произвел по одному выстрелу по цели. ПустьА–выражает попадание в цель первым стрелком,В– вторым стрелком иС– третьим стрелком. Нужно раскрыть смысл следующих событий: