5. Локальная теорема Муавра – Лапласа

В случаях, когда число испытаний достаточно велико, а вероятность удовлетворяет, для вычисления биномиальных вероятностей используют приближенные теоремы Муавра – Лапласа.

Локальная теорема Муавра- Лапласа. Если вероятность наступления событияв каждом испытании постоянна и удовлетворяет условиям, а число независимых испытанийдостаточно велико, то вероятностьможет бить вычислена по следующей приближённой формуле

(12) ,

дает асимптотическую формулу (оно тем точнее, чем больше ), позволяющую найти приближенное значение при достаточно больших значениях, где функция

(13) (Ф. Г.)

называется функцией Гаусса, а её график представляет кривой вероятностей.

Кратко остановимся на схеме доказательства этой теоремы. Имеют место равенства

(14) ;.

В силу ограниченности величин разностьстремится квместе си. Воспользуемся формулой Стрилинга, дляТогда с учетом формулы Бернулли после некоторых преобразований получим

.

Из равенств (14) следут, что

(15)

Следовательно, при достаточно большом получим

.

Далее воспользуемся (на основании представления логарифма в степенной ряд) асимптотическим представлением Тогда получим

₍₁₆₎

.

На основании равенств (14) и с учётом , будем иметь

Применяя асимптотические равенства (15), после некоторых упрощений получим, что

Подставляя полученные выражения в формулу (16), имеем

_{Теорема доказана. В частности, справедливо асимптотическое равенство}

Кроме того, для функции приведена таблица значений (см. приложение?).

Свойства функции :

1. функция чётная, т.е.

2. при , и дляможно считать,

3.

_{Функция Гаусса в дальнейшем будет встречаться и в разделе «Нормальный закон распределения». Из равенства (12) следует, что}

Пример 10.Монету бросают 100 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет 40 раз.

Решение:Применим формулу (12). Поскольку, по условию задачии, тоТогда на основании таблицы значений функцииполучим. По формуле (12) получим

.

Легко заметить, что величину с помощью формулы Бернулли очень трудно сосчитать.

Пример 11. Найти вероятность того, что событиеАнаступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появится этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение:По условию, тогда

Согласно таблице значений, . По локальной формуле Лапласа

В приближенных формулах Лапласа по мере приближения одного из чисел pиqк нулю точность понижается, т.е. точность в общем случае улучшается с ростом. Еслитои еслитопотому, чтоp+q = 1.

Обычно для произведения берут число не менее 10., отсюда следует, чтоесли p или q близко к нулю,тем больше нужно братьn.

В задачах, где требуется вычислять вероятность того, что в nнезависимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равнаp(0<p<1), событие наступит не менее раз и не болеераз, , равна

.

И используют интегральную теорему Муавра- Лапласа (ее приведём без доказательства, можно прочитать, например, в учебнике Гнеденко []).

В основе доказательства естественно лежит локальная теорема Муавра-Лапласса.