4. Наиболее вероятностное число успехов

Для числовой последовательности целоеназываетсянаиболее вероятностным числом успехов (или модой), если

(8) ;

Справедливо утверждение.

Теорема 3 . Пусть , тогда наболее вероятностное число равно

(9)

где знак обозначает целую часть вещественного числа .

Доказательство.По формуле Бернулли при всехимеем

Следовательно, вероятность будет больше, равна или меньше вероятностив зависимости от того, какое из следующих трёх соотношений будет выполняться

тогда мы приходим к выводу, что

(10) , если

(11) , если

(12) , если

Следовательно, вероятность сначала возрастает, когдаа затем убывает, когда

В случае, когда не является целым числом, тогда для наивероятннейшего числа наступлений событиядолжно выполняться неравенство, что согласно (9) возможно при, а также должно выполняться и другое неравенствочто в силу (10) возможно при.

Таким образом, . Далее, разность междуиравна единице значит, числоопределяется единственным образом.

В случае, когда является целым, тобудет наивероятностным числом наступлений события, однакотоже будет целым числом, поскольку в силу формулы (11),Поэтому таких чисел будут два, а именноиУтверждение полностью доказано.

Следствие. Пусть в схеме Бернулли вероятность событиеудовлетворяет усовию, что . Тогда для наивероятностного числа событиясправедливы равенства:

если то, если же, тогдаи.

Пример 5. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из лука равнаПроизводится шесть выстрелов. Причём выстрелы не зависят друг от друга.

а) Какова вероятность ровно двух попаданий?

в) Какова вероятность не менее двух попаданий?

с) Каково наивероятнейшее число попаданий?

Решение.Обозначим черезсобытие «попадание при одном выстреле»,Число выстреловОтвет на первый вопрос вычисляем по формуле Бернулли

Ответим на второй вопрос. Воспользумся равенствами (4) и (5). Получим

Наивероятнейшее число попаданий лежит в пределах от до, т.е..

Пример 6. Пусть игральную кость бросают 20 раз, каково наибольшее вероятностное число выпадения грани 5.

Решение.

;.

Задание.Вычислите численное значениепо формуле Бернулли и убедитесь, как на практике при достаточно больших значениях чиселиприменение этой формулы становиться технически трудоемкой.

Завершим этот раздел классическим примером - задачей С. Банахапри решении, которой применяется формула Бернулли.

Задача Стефана Банаха. Некий курящий человек носит с собой 2 коробки спичек. Каждый раз, когда он хочет достать спичку, он выбирает наугад одну из коробок. Найти вероятность того, что, когда этот человек вынет в первый раз пустую коробку (он не заметил последний раз, что в коробке закончились спички), в другой коробке окажется спичек,гдечисло спичек, бывших первоначально в каждой из коробок.

Решение.Пустьсобытие, которое состоит в том, что вынимается спичка из коробки, которая в конце оказалась пустой. Если выбранная коробка пуста, а другая коробка содержитспичек, то это означает, что спички брались всегораз.

При этом, событие наступило ровно раз, так как коробка стала пустой. Поскольку каждый раз коробка выбирается наугад, то вероятность.

Следовательно, по формуле Бернулли событие наступаетраз виспытаниях с вероятностью

Возможно и следущие виды испытаний (опытов), если в серии из независимых опытов, в каждом из которых может произойти одно и только одно изсобытийс соответствующими вероятностямитовероятность того, что в этих опытах событиепоявитсяраз, событиепоявитсяраз, и т.д., событиепоявитсяраз,равна

(13) ,

где Вероятности (13) называютсяполиномиальным распределением, и является коэффициентом прив разложении полиномапо степеням. Полиномиальные распределения вероятности (13) находят применения в естествознании, экономических и технических задачах.