3. Повторные испытания, схема Бернулли

С понятием «повторных испытаний событий» связано понятие«независимых испытаний (опытов)».Несколько опытов называютсянезависимыми, если их исходы представляют собой независимые события (независимые в совокупности). Другими словами, если проводится несколько испытаний, то есть опыт выполняется многократно при заданном комплексе условий (такой процесс называется «последовательностью испытаний»), причём вероятность исходов в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний называютсянезависимыми.

Примерами независимых испытаний могут служить: многократное подбрасывание монеты; многократная стрельба по мишени без поправок на ранее допущенную ошибку при очередном выстреле; некоторое число раз извлечений из урны одинаковых занумерованных шаров, если шары каждый раз (после просмотра) возвращаются назад в урну; и т.д. При практическом применении теории вероятностей часто используется стандартная схема, называемая схемой Бернуллиили «схемой повторных независимых испытаний».

Последовательность независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событиес вероятностью (его называютуспехом) или противоположное ему событиес вероятностью(его называютнеудачей), называетсясхемой Бернулли.

Например, при стрельбе по мишени: событие - попадание (успех), событие- промах (неудача); при обследованииизделий на предмет годности: событие- деталь годная (успех), событие- деталь бракованная (неудача), и т.д.

В каждом таком опыте пространство элементарных событий состоит только из двух элементарных событий, то есть , где- неудача,- успех, при этом. Вероятности этих событий обозначают черезиqсоответственно, причём выполняется равенство. Множество элементарных исходов дляопытов состоит изэлементов. Например, для, т.е. один и тот же опыт повторяется три раза. Все возможные события будут следующими:

Вероятность каждого элементарного события определяется однозначно. По теореме умножения вероятность события скажем,равнаа вероятность событияравнаЧасто успеху сопоставляют число 1, неудаче – число 0. Элементарным событием дляопытов будет соответствовать последовательность изнулей и единиц. К примеру, тройка чисел (0,0,0) означает, что во всех трёх опытах событиене наступило; тройка чисел (0,1,0) означает, что событиенаступило во втором опыте, а в первом и третьем – не наступило, и т.д.

Постановка задачи.

Простейшая задача, относящая схеме Бернулли, состоит в определении вероятности того, что в независимых испытаниях событиенаступитразОбозначается искомая вероятностьили.

Например, при подбрасывании игральной кости 3 раза означает вероятность того, что в 3-х опытах событие(- выпадение, к примеру, цифры 6) произойдёт 2 раза.

Найдём эту вероятность. Очевидно, что все возможные случаи таковы

.

Вероятности каждого из этих событий соответственно вычисляются по формулам

.

Следовательно, их сумма .

Рассмотрим серию из писпытаний, в каждом из которых событиеАпоявляется с одной и той же вероятностью, причем результат каждого испытания не зависит от результатов остальных. Подобная постановка задачи называетсясхемой повторения независимых испытаний. Найдем вероятность того, что в такой серии событиеАпроизойдет ровнораз (неважно, в какой последовательности). Интересующее нас событие представляет собой сумму равновероятных несовместных событий, заключающихся в том, чтоАпроизошло в некоторыхиспытаниях и не произошло в остальныхп – испытаниях. Число таких событий равно числу сочетаний изппо, то есть числу, а вероятность каждого из этих событий равна, гдеq = 1 –p – вероятность того, что в данном опытеАне произошло. Применяя теорему сложения для несовместных событий, получимформулу Бернулли:

..

или

где .

В общем случае полученный результат сформулируем в виде следующего утверждения.

Теорема 2. Если производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления событияравна , а вероятность его непоявления : независимо от номера испытаний, то вероятность того, что событиепроизойдётраз определяетсяформулой Бернулли.

(3) .

Это и есть схема Бернулли.

Для каждого испытания имеется 2 исхода: 1 – «успех» - наступление А, 2 – «неудача» - наступление противоположного события .

В приложениях теории вероятностей часто приходится иметь дело со стандартной схемой испытания или схемой Бернулли.Якоб Бернулли один из основоположников теории вероятностей, теории дифференциального и интегрального исчисления. Основным вкладом Бернулли является в теории вероятностей теорема «О законе больших чисел».

Далее, определим вероятность того, что событие наступит:

а) менее раз б) более раз в) не менее раз г) не более раз.

Их вероятности вычисляются соответственно следующими формулами:

а)

б)

в)

г)

Вероятность суммы всех возможных событий вычисляем с учётом формулы бинома Ньютона.

(4)

Cовокупностьвероятностей называютбиномиальными .

_{Отсюда следуют соответственно для любого натурального числа r = 1,2,…,m-1 справедливы вычислительные равенства:}

(5) а) ; или б);

В приложениях часто приходится иметь дело с так называемыми «интегральными задачами», где требуется найти вероятности наступления событияне менеераз и не болеераз. Другими словами возникает задача подсчёта арифметических сумм вида:

Пример 4.Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет:

а) один раз - (событие);

б) не менее двух раз - (событие).

Решение:а)  По формуле Бернулли, где,,, получим

(6) .

б) Аналогично, находим

(7) .

События иобразуют полную группу, поэтому. Следовательно,

.