Тема 5. Формула полной вероятности, вероятности гипотез,

повторние испытания, наиболее вероятностное

и среднее число «успехов»

Важным следствием совместного применения теоремы сложения и умножения вероятностей являются выводы формулы полной вероятности и теоремы Байеса. Напомним, что события образуют полную группу событий, если выполняются условия

.

Систему таких событий называют также разбиением. Сформулируем основное утверждение, относительно полной вероятности любого события.

1. Формула полной вероятности (фпв)

Теорема 1. Пусть образуют полную группу событий. Вероятность появления событияА, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность событияА относительно каждого из них, т.е.

(1) .

Доказательство.Посколькуто на основании свойств операций над событиями получим. Из того, что, следует, что, т.е. событиятакже несовместны. Тогда по теореме сложения вероятностей получим

.

На основании теоремы умножения вероятностей были доказаны равенства , для всех. Следовательно, формула (1) доказана.

Формулу (1) называют формулой полной вероятности.Отметим, что в равенстве (1) события обычно называют гипотезами поскольку заранее не известно, какое из событий наступит; они исчерпывают все возможные предположения (гипотезы) относительно исходов как бы первого этапа опыта, после наступления гипотезы событиеА - один из возможных исходов.

Пример 1.В первой урне 3 белых и 5 красных шара, во второй 6 белых и 4 красных. Из второй урны в первую наудачу перекладывают 2 шара. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из первой урны, будет белым.

Решение: А – событие, что шар будет белым. Составим гипотезу (полную группу возможных событий) относительно двух шаров, переложенных наудачу из второй урны в первую.

– событие, что оба шара белые;

– событие, что оба шара красные;

– событие, что один шар белый и один красный.

Других вариантов гипотез быть не может, а одно из этих событий обязательно наступит, поэтому , , – составляют полную группу событий. Тогда применима формула полной вероятности. Найдем вероятности гипотез

,

где В– событие, что первый шар белый, С – событие, что второй шар белый.

,);

,.

Подставляя в формулу, получим

.

2. Вероятность гипотез (формулы Байеса).

Одним из важным следствием формулы (1) является формулы Байеса.

Пусть событие Аможет наступить при условии появления одного из несовместных событийобразующих полную группу событий гипотез. Вероятность появления событияАопределяется по формуле полной вероятности. Допустим, что произведено испытание, в результате которого наступило событиеА. Ставим задачу: определить, как изменились (в связи с тем, что событиеуже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности после наступления события в данном эксперименте. Имеет место, следующее утверждение.

Теорема 2.Справедливы формулы вероятностей гипотез

(2)

Эти формулы называются формулами Байеса (или формулами гипотез) - по имени английского математика, который их вывел и опубликовал в 1764г.

Доказательство. Равенства (2) непосредственно выводятся на основании формулы умножения

и.

Так как левые части этих формул равны, приравнивая правые части, получим равенство (2).

Формулы Байеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известен результат испытания, вследствие, которого наступило событие А.

Такой анализ имеет большое практическое значение с точки зрения «эффективности проведённого опыта». Таким образом, можно непосредственно увидеть какая гипотеза (или какие гипотезы) больше способствовали наступлению событияА, а это в свою очередь прямо указывает наглавные факторы (гипотезы), из-за которых достигается тот или иной практический результат.

Пример 2. Мимо заправки проезжают в 4 раза больше легковых машин, чем грузовых. При этом заправляются каждая вторая грузовая машина и каждая пятая легковая. Найти вероятности того, что заправившаяся машина – легковая.

Решение: Составим гипотезу:Н₁– событие, что заправилась легковая машина,Н₂– событие, что заправилась грузовая. А – событие, что машина заправилась. Тогда по формуле полной вероятности

.

найдем эти вероятности и, так как по условию легковых в 4 раза больше грузовыхи, так как по условию задачи из легковых машин заправляется каждая пятая, а из грузовых – каждая вторая. Тогда. Теперь по формуле Байеса найдем

,.

Пример 3. В отборочный цех завода поступает 40 % деталей из 1 цеха и 60 % процентов из второго цеха. В первом цехе производится 90 % стандартных деталей, а во втором 95 % стандартных деталей. Найти вероятность того, что наудачу взятая сборщиком деталь окажется

1. Стандартной.

2. Найти вероятность того, что эта стандартная деталь изготовлена вторым цехом

Решение. Выбор детали можно разбить на два этапа. Первый – это выбор цеха. Имеется две гипотезы:деталь изготовлена первым цехом,деталь изготовлена первым цехом. Второй этап выбор детали. Событие- извлечённая на удачу деталь оказалась стандартной. Понятно, что событияиобразуют полную группу,. Числа 0, 90 и 0, 95 являются условными вероятностями событияпри условии гипотезисоответственно, т.е.По формуле полной вероятности (1) вычисляем

.

Следовательно, наудачу взятая сборщиком деталь с вероятностью 0,93 будет стандартной.

Теперь найдём вероятности того, что эта стандартная деталь изготовлена вторым цехом.

Определим вероятность гипотезы , способствующего данному результату (т.е. событиеА уже произошло). Применим формулы (2), получим

.

Задания 1. Найдите, и сравните полученные результаты.

2. Покажите, что если, то,

т.е. система событий образует полную группу событий.

Среди гипотез гипотезус номером- будем называть наиболее подходящей гипотезой для наступления события А, если.

Легко заметить, что здесь возможны равенства:при всех номерах, при этом, если, то систему гипотез будем называтьунимодальнойи если же, то систему гипотез будем называтьполимодальнойсистемой.

Указанные свойства системы гипотез особенно важны для исследования так называемых «чёрных ящиков».