2. Теорема умножения вероятностей

Наступление одного события (скажем)может повлиять на возможность наступления другого события . Для характеристикизависимости одних событий от другихвводится понятиеусловной (относительной) вероятности.

Определение. Вероятность события_, вычисленная при условии, что уже произошло событие _, называется условной вероятностью события и обозначается

(5) или.

Замечание. Вероятность каждого событияв данном испытании связана с наличием заданного комплекса условий. При определении условной вероятности предполагается, что в этот комплекс условий обязательно входит и событие. Таким образом, мы фактически имеем другой комплекс условий, соответствующий испытанию в новой обстановке. Вероятностьпоявления событияпри этих новых условиях называется его условной вероятностью, в отличие от вероятности, которая может быть названа безусловной вероятностью события.

Аналогично, определяется условная вероятность события_, вычисленная при условии, что произошло событие , называется условной вероятностью событияи обозначается:

(6) или.

Например.В урне имеются 7 белых и 3 цветных шара. Какова вероятность появления:

1) извлечение белого шара из урны (событие )

2) извлечение цветного шара из урны (событие )

3) извлечение цветного шара из урны после удаления белого шара (событие )

4) извлечение белого шара из урны после удаления белого шара (событие )

5) извлечение цветного шара из урны после удаления цветного шара (событие )

6) извлечение белого шара из урны после удаления цветного шара (событие )

Решение.В урне имеются 7 белых и 3 цветных шара.

Вероятность появления белого шара при одной выборке , а цветного.

Пусть выбранный шар (событие А) оказался белым. Тогда после первого произведенного испытания вероятность появления цветного шара (событие) условная вероятность событияравна

,

т.е. условная вероятность наступления события увеличилась.

Аналогично вычисляются вероятности остальных событий. (Вычислите самостоятельно)

На практике часто бывает увеличение условной вероятности наступления события, а также уменьшение условной вероятности. В нашем примере, если бы первоначально выбранный шар оказался цветным, то вероятность наступления событие имело бы условную вероятность, т.е. условная вероятность наступления событияуменьшилась.

Следует заметить, что условная вероятность удовлетворяет аксиомам Колмогорова:

если . Поэтому для условной вероятности справедливы все следствия (свойства) из аксиом, полученные ранее в пункте 3.

Вероятность произведения событий, независимость событий.

Теорема умножения вероятностей.Вероятность произведения (совмещения) двух событийиравна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило. Эти формулы записываются в форме равенств

(7) .

или имеют место равносильные равенства

,;,.

Доказательство. Проведём для одного из случаев, другое рассматривается также. Пусть событиюблагоприятствуютравновозможных элементарных исходов, а событиюблагоприятствуютравновозможных элементарных исходов из общего количества. Тогда

(8)

Но если событие произошло, то в этой ситуации возможны лишь теэлементарных исходов, которые благоприятствовали поялению событии, причём,из них, очевидно, благоприятствуют событию. Следовательно, согласно определению

Отсюда на основании (8) и определении условной вероятности (см. формулу (5)), имеем

Так как то равенства (7) доказаны.

Равенства (7) называются правилом илитеоремой умножения вероятностей. Это правило обобщается на случай событий

=

В частности, для трёх событий формула имеет вид

(9)

Пример 1. В урне находится 4 белых, 3синих и 2 чёрных шара. Наудачу последовательно вынимают три шара. Какова вероятность того, что 1-й шар белый, 2-й синий, 3-й – чёрный.

Решение. Введём следующие события: интересующее событие Согласно правилам умножения вероятностей первым извлекли белый шар, вторым – синий,

третьим будет чёрный шар. Тогда

Но

Следовательно, перемножая полученных значений, имеем .

Событие иВ называется взаимно- независимыми, если появление события А, не зависит от события В, то и появление события В не зависит от события А.

Тогда имеют место равенства и .

Равенства (7)для независимых событий принимает вид

Несколько событий называют независимыми в совокупности (или простонезависыми), если независимы каждое два из них и независимы каждое событие и всевозможные произведения остальных. Например, если событиянезависимы в совокупности, то независимы событияииииии. Из сказанного следует, что если события независимы в совокупности, то условная вероятность появления любого события из них, вычисленная в предположении, того что наступили какие – либо другие события из числа остальных, равна его безусловной вероятности.

Таким образом, вытекает из попарной независимости событий;(любые два из них взаимно - независимы) не следует их независимость в совокупности (обратное верно!), т.е. требованиенезависимости событий в совокупности сильнее, чем требование их попарной независимости. Для пояснения сказанного рассмотрим следующий пример.

Пример 2. Производится выбор (наудачу) флага из 4-х, имеющихся цветов в наличии:

красного, голубого, белого и трёхцветного (красно-бело- голубого). Исследвать на независимость события, если соответственно обозначим события:

К - выбранный флаг имеет красный цвет;

Г - выбранный флаг имеет голубой цвет;

Б - выбранный флаг имеет белый цвет;

К- красно-бело-голубого цвета.

Возможных исходов выбора всего 4; из них событию К благоприятствуют два исхода (красный цвет имеется у двух флагов). Поэтому . Аналогично находим, что

Событиям:;иблагоприятствуют всего по одному исходу. Поэтомуто события К и Г независимы. Аналогично убеждаемся в независимости событий К и Б; Б . Следовательно, события К , Г, Б попарно независимы. По условию задачи с одной стороны

(из четырёх возможных случаев только один флаг благоприятствует).

С другой стороны на основании теоремы умножения имеем:

Таким образом, полученные разные значения (противоречие) показывает, что события К , Г и Б не являются независимыми в совокупности.

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

(10)

Пример 3.В двух ящиках имеются по 12 деталей. В одном ящике 8, а в другом 9 стандартных деталей. Из каждого ящика вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что: а) вынутые детали будут стандартными; б) что одна деталь стандартная, а другая – нет.

Решение:А– событие, что деталь из первого ящика стандартная, В – событие, что деталь из второго ящика стандартная. Тогда

а)  ,.

Так как события АиВнезависимые, то

.

б)  С– событие, что одна деталь стандартная, а другая – нет, то

и

Пример 4.В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар, при втором – черный, и при третьем – синий.

Решение:Пусть событиеА- появление белого шара,В- появление черного шара,

С- появление синего шара. Тогда. Вероятность появления черного шара во втором испытании, при условии, что в первом испытании выпал белый шар, т.е. условная вероятность равна:. Вероятность появления синего шара в третьем испытании, при условии, что в первом испытании выпал белый шар, а во втором черный, т.е. условная вероятность равна:. Таким образом, искомая вероятность равна:

(5/12)·(4/11)·(3/10)=1/22.

(из четырёх возможных случаев только один флаг благоприятствует).

Приведём одну классическую задачу на применении теорем сложения и умножения вероятностей.

Задача о разорении игрока. Рассмотрим игру в «орлянку», когда игрок выбирает «герб» или «решетку», после чего бросается монета. Если выпадёт сторона монеты, названная игроком, то он выигрывает, получая 1 руб., в противном случае столько же он проигрывает. Предполагается, что начальный капитал игрока составляет руб. и игрок ставил себе целью довести свой капитал доруб.,. Игра продолжается до тех пор, пока, либо игрок наберёт заранее определённую суммуy, которую он наметил, либо разорится, проиграв весь имеющийся у него капитал. Какова вероятность того, что игрок разорится?

Решение. Введём обозначения событий {игрок выиграл на первом шаге},{игрок проиграл на первом шаге},{игрок разорится, имея начальный капиталруб.}. Обозначим черезискомую вероятность, очевидно, эта вероятность определена для любого, а также. Поскольку монета симметрична, тоЕсли наступает событие, то капитал игрока стал, а если наступает событие, то капитал игрока стал. После этого можно считать, что игра начинается снова и согласно принятому обозначениюгде- любое число, . Посколькуи событияинесовместны, то по формуле сложения вероятностей

Применяя формулу умножения вероятностей, получим

Это в силу принятых обозначений даёт следующее рекуррентное уравнение для вероятностей :

Известно, что решением этого уравнения является только линейная функция где- произвольные коэффициенты. Эти коэффициенты можно определить, пользуясь граничными условиями, подставляя их в выражение длязначенияи.Имеем . Откуда следует, что и значит,

В частности, если игрок желает увеличить свой вклад до () , то вероятность такого пожелания игрока равна.

Задача (Де Мере). Ещё в ХVIIвеке Шевалье Де Мере задался вопросом: какая сумма очков имеет больше шансов выпасть при бросании двух игральных костей. Число(событые) или(событие)? Сумму 11 могут составить лишь два числа; 5 и 6, а сумму 12 тоже два числа, 6 и 6. На первый взгляд шансы у этих событий равны. Так ли это?

Решение.Будем считать игральные кости различные. Пусть (мысленно) одна будет красной, а другая – жёлтой. Согласно правилу кобинаторики, различные комбинаций очков на разноцветных костях всего возможно. Из них для наступления первого событияблагоприятствует два элементарных события, а для наступления событиявсего одно элементарное событие. Таким образом, вероятность. Поэтому,, т.е. шансов наступления событиев два раза больше по сравнению с шансов наступления событие.

В завершении этого раздела остановимся несколько подробно о практической невозможности маловероятных событий.