2. Статистическое определение вероятности

Для этой цели введем вначале понятие относительной частотыW(A)событияA,как

отношения числа опытов, в которых наблюдалось событие А, к общему количеству проведенных испытаний:

гдеn – общее число опытов, – число появлений события А в данном испытании.

Многочисленные эксперименты показали, что, как правило, если опыты проводятся в одинаковых условиях, то для большого количества испытаний относительная частота изменяется мало, колеблясь около некоторого постоянного числа. Это число можно принять за вероятность рассматриваемого события.

Относительная частота обладает ещё одним важным свойством, называемым свойством статистической устойчивости, т.е. с увеличением числа опытов она принимает значение, близкое к некоторому постоянному числу (говорят: «частота стабилизируется, приближаясь к некоторому числу», «частота колеблетсяоколо некоторого числа» или «её значениягруппируютсяоколо некоторого числа»).

Так, например, в опыте подбрасывания монеты (однородной, симметричной, и т.д.) относительная частота появления герба при 4040 раз бросаниях (Ж. Бюффон) оказалось равной 0,5069, а в опыте с 12000 и 24000 раз бросаниями (К. Пирсом), частоты оказались равными, соответственно 0,5015 и 0,5005, то есть их численные значения приближается к числу 1/2= =0,5000.

Статистика разных стран показывает, что частота рождения мальчика, колеблется около числа 0,515. Отметим, что теория вероятностей изучает те массовые случайные явления с неопределённым исходом, для которых предполагается наличие устойчивости относительной частоты.

Статистической вероятностьюсобытияназывают число, около которого колеблется относительная частотаW(A)событияпри достаточном числе испытаний (опытов, наблюдений).

Вероятность события обозначается символом Согласно данному определению

.

Заметим, что число W(A), удовлетворяет всем трём условиям, классического определения вероятности

1. Вероятность любого события заключена между нулём и единицей, т.е.

.

2. Вероятность невозможногособытия равна нулю, т.е.

.

3. Вероятностьдостоверногособытия равна единице, т.е.

.

Статистический способ определения вероятности, опирающийся на реальный опыт, достаточно полно выявляет содержание этого понятия (как численная мера наступления событие в данном испытании). Многие учёные считают, что эмпирическое определение вероятности

,

следует считать основным определением вероятности. Преимуществом этого определения заключается в том, что:

во - первых не обязательно, чтобы события были равновозможные, практически не возможно проследит за этим явлением,

во - вторых, в отличие от классического определения общее число проводимых опытов может бытьнеограниченно большим.

Недостатком статистического определения является неоднозначность статической вероятности, имеется в виду неоднозначности результата эксперимента. Так, в примере с подбрасыванием монеты в качестве вероятности можно принять 0,5 или 0,49 или 0,51 (например, в опыте, проведённом К. Пирсоном, при 24000 бросаниях монеты выпало: 12012 раз герб, а 11988 раз - решётка). Как видно частота появления событий ипримерно мало отличаются от истинной вероятности000…. Для надёжного определения вероятности необходимо проделать большое число испытаний (это подтверждается историей науки и многими крупными достижениями в разных отраслях человеческой деятельности, но не всегдапросто и дешево!).

Пример 4. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартных деталей утеряна 1 деталь, причем неизвестно какая. Наудачу извлеченная (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной.

Найти вероятность того, какая деталь была утеряна:

1. Стандартная деталь,

2. Нестандартная деталь.

Решение:

1. Извлеченная из ящика стандартная деталь, очевидно, не могла быть утеряна; могла быть утеряна одна из остальных 30 деталей , причем среди них было 20 стандартных 21-1 = 20. Вероятность того, что была утеряна стандартная детальр =20/30=2/3.

2. Среди 30 деталей, каждая из которых могла быть утеряна, было 10 нестандартных. Вероятность того, что утеряна нестандартная деталь р=10/30=1/3.

Рассмотрим третий вид определения вероятности – геометрическое определение. Геометрическое определение вероятности применятся в случаях, когда исходы опыта равновозможные, а пространства элементарных событий есть бесконечное несчётное множество.