МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

Инновационный евразийский университет

Научно-образовательный комплекс

курс

лекций по

теории вероятностей и

математической

статистике

Высшее образование

нужно вставить геомерический рисунок

Павлодар

2013

УдК 519.21 (075.8)

ББК.22. 171 д 13

окончательный вариант оформления

по образцу после завершения работы

Исмоилов Додожон- доктор - физико-математических наук, профессор

кафедры «Математика и Информатика», член корреспондент

Международной Aкадемии Наук Высшей Школы (МАН ВШ),

Сарбасова Нурбану Даукеновна - ст. преп. кафедры «Математика и Информатика»,

магистр естественных наук - «математик»,

Бокаева Мунира Саудвакасовна - ст. преп. кафедры «Математика и Информатика»,

магистр естественных наук - «математик».

Кафедра «Математика и информатика» Инновационный евразийский университет

Курс лекций по теории вероятностей и

математической статистике

Настоящий курс лекций посвящён основам университетской дисциплины «Теории вероятностей и математическая статистика» разработан на основании Типовой учебной программы для специальности 050109 «Математика», Алматы, 2007, ГОСО 3.08.259, Астана, 2006 и рабочей программы дисциплины Теории вероятностей и математической статистики для специальностей: 050109 «Математика», ….

Курс лекций могут быть использован для экономических, технических и гуманитарных специальностей колледжей, педагогических и технических высших учебных заведений. В книге также изложена теория случайных процессов, система массового обслуживанияи и основы теории информации применительно к тематике «прикладные вероятностные теории» в необходимом объёме.

Содержание (нужно разбить на главы после завершения)

Введение…………………………………………………………………………

Тема 1. Понятие испытаний, событий. Пространство элементарных событий,

Алгебра событий, полные группы событий. ……………………..

Тема 2. Элементы комбинаторики, размещение, перестановки, сочетания.

Тема 3. Классическое определение вероятности. Относительная частота,

статистическое и геометрическое определение вероятности.

Аксиоматическое определение вероятности.

Тема 4. Теорема суммы вероятностей. Формула вероятности полной системы

событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

распределения вероятности. Наиболее вероятностное число «успехов»

Тема 5. Приближенные формулы. Приближенная формула Пуассона Локальная

теорема Муавра–Лапласа. Интегральная формула Муавра–Лапласа.

Тема 6. Случайные величины. Законы распределения дискретных случайных

величин. Биноминальное распределение. Распределение Пуассона.

Геометрическое распределение.

Тема 7. Непрерывные случайные величины и их функции распределения,

плотность непрерывной случайной величины, дифференциальный закон.

Тема 8. Основные законы распределения непрерывных случайных величин.

Тема 9. Числовые характеристики случайных величин. Вероятностный смысл.

Тема 10. Математическое ожидание. Дисперсия. Среднее квадратичное отклонение.

Тема 11. Мода и медиана. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс.

Квантили

Тема 12. Показательное (экспоненциальное) распределение. Функция надёжности.

Тема 13. Основные понятия математической статистики. Числовые характеристики

вариационного ряда

Тема 14. Оценки вероятностей и параметров в статистике

Тема 15 Корреляция

Тема 16. Метод наименьших квадратов

Тема 17. Структура и классификация системы массового обслуживания.………

Тема 18. Марковский случайный процесс. Система массового обслуживания

с отказами.

Тема 19. Система массового обслуживания с неограниченным ожиданием и

ограниченной длиной очереди

Тема 20. .Замкнутые системы массового обслуживания

Задания для самостоятельной работы

Приложения

Maro az fitrati «hurshedi tobon» in pisand omad,

Ki bo yak chashm mebinad buzurgu hurdi Dunyoro!

Введение

Теория вероятностей– математическая наука, изучающая закономерности, присущие массовым случайным явлениям. При этом изучаемые явления рассматриваются в абстрактной форме, независимо от их конкретной природы.

Предметом теории вероятностей- является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных величин. Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях человеческой деятельности: естествознание и технике, в теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, медицине, астрономии, экономике, теории стрельбы, теории управления, в социологии и др.

Теория вероятностей, как и все направления математической науки, возникла из потребностей практики. Элементы теории вероятности частично были «знакомы» ещё первобытным людям: возможности убить зверя у нескольких охотников, естественно, больше, чем у одного; шансы выжить у одного человека, гораздо меньше, чем у группы (семьи) людей, …

Начало изучения теории вероятностей как самостоятельная наука стала возникать в переписках Б. Паскаля (1623-1662) и П. Ферма (1601-1665) при обсуждении попытки создания решения некоторых задач из теории азартных игр. Примеры из области азартных игр широко применяется в теории вероятностей, так как для них удобно и легко строить математические модели. Одной из первых книг по теории вероятностей «О расчётах в азартной игре» опубликовал голландский математик Х. Гюгенс (1629-1695). Второй этап развития теории вероятностей, как одной из фундаментальных направлений математики связано с именем Я. Бернулли (1654 – 1705), который ввёл понятие: «классическое определение события». Впервые доказанная теорема им «закон больших чисел» (ЗБЧ) является первым теоретическим обоснованием ранее, накопленных знаний в этой области исследования.

Значительную роль в развитии аналитических методов теории вероятностей сыграли труды Муавра (1667-1754), П. Лапласа (1749 – 1827), К. Гаусса (1777 – 1855), С. Пуассона (1781 – 1840), П. Л. Чебышева (1821 – 1894),, А. А. Маркова(1856 – 1922), А. М. Ляпунова (1857 – 1918), где были развиты так называемые предельные теоремы,которые внесли большой теоретический и практический вклад в дальнейшем развитии теории вероятностей.

В XVII-XIX веках центральное место в развитии теории вероятностей занимали исследования русских учёных П. Л. Чебышева , А. А. Маркова , А. М. Ляпунова. Некоторый итог об успехах русской науки был сделан В.Я. Буньяковским (1804-1889). Им был написан первый в России курс теории вероятностей, оказавший большое влияние на развитие интереса к этой молодой области науки математики. С половиныXIXстолетия и примерно до двадцатых годовXXвека в России широко культивировалась исследования по применению теории веоятностей к статистике, в оссобенности к страховому делу и демографии.

В конце XIXначале XXвека благодаря исследованиям П.Л. Чебышева, А. А. Маркова и

А. М. Ляпунова были созданы методы доказательства предельных теорем для сумм независимых произвольно распределённых случайных величин. В целом в развитие теории вероятностей большой вклад внесли математики советского периода С.Н Бернштейна (1880-1956), Е. Слуцский (1880 – 1956), А.Я. Хинчин (1894– 1959), А.Н. Колмогоров (1903 – 1987), Б.В. Гнеденко (1912 – 1995) и ряда других, а также зарубежные учёные Н. Винер (1894 – 1964), Э. Борель (1871 – 1956), В. Феллер (1906 – 1970), Р. Фишер (1890– 1962) и многие другие.

Следует особо отметить, что теория вероятностей как самостоятельная наука получила строгое формально - логическое обоснование на базе теории множеств. Впервые академик А.Н. Колмогоров, сформулировал и установил аксиоматику теории вероятностей(примерно в 1933г), используя прямое сходство топологических операций над подмножествами данного универсального множества и над событиями данного пространства элементарных событий.

Теория вероятностей способствовала существенному развитию таких математических дисциплин: как математическая статистика, теория случайных процессов, теория массового обслуживания, генетика, теория управления и ряда других. Современная теория вероятностей является строго обоснованной математической наукой. Она широко использует информацию и достижения в самых различных сферах человеческой деятельности и имеет многочисленные приложения в естественных и гуманитарных науках.

Математическая статистика– раздел математики, в которой изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений с целью выявления присущих им закономерностей. Математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей. Она возникла вXVIIвеке и развивалась параллельно с теорией вероятностей. Эти математические дисциплины занимаются выявлением и изучением вероятностных закономерностей массовых случайных явлений.

Предметом математической статистикиявляется изучение массовых случайных величин по результатам наблюдений (или специально поставленных экспериментов). В процессе исследоваия этих задач формируются методы сбора полученных данных в результате наблюдения (опыта, испытания, эксперимента, и т.д.), массовых случайных явлений с целью установления вида и основных свойств, предлагаемой математической модели.

Первая задача математической статистики -полученные результаты наблюдений некоторым способом представляются в удобном виде (для обозрения, анализа и систематизации)

Вторая задача математической статистики – дать предварительную оценку и приблизительную рекомендацию (оценку) и указать направление исследования,интересующих насхарактеристик, наблюдаемой случайной величины.Например, чтобы представить приемлемую информацию относительно неизвестных параметров случайной величины в условиях неопределённости: оценку неизвестной вероятности, неизвестной функции распределения, оценку математического ожидания, оценку дисперсии и оценку параметров распределения, вид которых неизвестен и множество других статистических параметров.

Третья задача математической статистики - проверка статистических гипотез, т.е. решение вопроса соответствия (согласования) результатов оценивания с опытными данными.

При решении стандартных задач , выдвигаются гипотезы:

-наблюдаемая случайная величина подчиняется нормальному закону;

-математическое ожидание наблюдаемой случайной величины равно нулю, а её

дисперсия равна единице (нормированный закон распределения);

-случайная величина имеет заданную вероятность и т.д.

«Математическая статистика – это наука о принятия решений в условиях неопределённости».

Одной из важнейших задач математической статистики является разработка методов, позволяющих по результатам обследования «выборки» (т.е. часть исследуемой совокупности от всей рассматриваемой совокупности объектов) делать обоснованные выводы о распределении того или иного признака (случайной величины) изучаемых объектов по всей совокупности.

Результаты исследования статических данных методами математической статистики используются для принятия обоснованных решений в задачах: управления различными процессами, прогнозирования и планирования организации производства, при контроле и качества выпуска продукций, при выборе оптимального времени настройки и запуска объектов в технологических процессах или своевременной замены частей действующей аппаратуры и т.д.

Бурное развитие математической статистики приходится на XIX–XXвв. и оно обязано в первую очередь трудам Я. Бернулли, П. Лапласса, К. Пирсона. В современном этапе развитии определяющую роль сыграли труды Г. Крамера, Р. Фишера, Ю. Неймана, П. Чебышева, А.М. Ляпунова, А..Я. Хинчина А. Н. Колмогорова, А.Я. Хинчина Б..В. Гнеденко, А. Г. Постникова, С.Х. Сироджиддинова и многих других.

В завершение этого краткого введения (подробную историческую информация можно прочитать в [1]), а мы приведём высказывания великих людей, на наш взгляд, имеющие прямое отношение к этой науке:

- Истина была единственной дочерью времени. Да Винчи Леонардо (1452-1519гг.).

- Знания нерождённые опытом – матерью всякой достоверности, бесплодны и полны ошибок. Да Винчи Леонардо (1452-1519гг.).

- Дела мои - любовь и истина, труды радость и счатье. О, жизнь моя! Твои плоды истина и любовь. Джами Абдрахмон Нураддин ибн Ахмад (1414-1492гг.).

- В одиночестве человек невыжил бы. Всё, то в чём он нуждается, он получает лишь благодаря обществу. Абу - Али ибн Сина (Авицена 980-1037гг.)

- Среди мудрых нет чужаков! Иоанн Дамаскин (Иоанн-Мансур, ок.675-до 753гг.)

ДОПОЛНЕНИЕ

Два величайщих тирана на земле: случай и время.

Любое преувеличение - это вышедшая из себя истина!

Случайные события – спутники нашей жизни,

Необходимо их постоянно изучать!