Глава IV Теория случайных процессов

Тема 16. Основы теории случайных процессов

1. Понятие случайной функции, стохастические процессы

При изучении многих явлений систематически приходится иметь дело со случайными величинами, изменяющимися в процессе проведения испытания в течение определённого времени. Мы уже встречались с примерами таких явлений в пунктах 6.2. и 9.2. в связи с законом распределения Пуассона.

Примерами таких с.в. являются: распад радиоактивного вещества при химической реакции, сигнал на выходе радиоприёмника под воздействием помех, длина очереди за билетом на футбольный матч, колебания цен в системе торговли товаров первой необходимости, загруженность студентов в течение учебного семестра, траектория частиц в броуновском движении, рейтинг претендентов в избирательных процессах, число вызовов поступающих на телефонную станцию, и т.д.

Такие случайные величины, изменяющиеся в процессе опыта (наблюдения, испытания) называют случайными процессами (случайными функциями). В настоящее время ряд отраслей техники и науки (физическая статистика, процесс диффузии, процессы химической реакции и т.д.) поставило перед теорией вероятностей новые задачи, не укладывающиеся в рамки классической теории вероятностей. В то время многие отрасли человеческой деятельности интересуют изучение процессов, то есть явлений, протекающих во времени. Они потребовали от науки теории вероятностей разработку общей теории, так называемых, случайных процессов. Другими словами, разработки теории, которая изучала бы случайные величины, зависящие от одного или нескольких непрерывно изменяющихся временных параметров. Приведём примеры таких задач, иллюстрирующих необходимость построения теории случайных процессов.

Представим себе, что мы хотим проследить за движением какой-либо молекулы газа или жидкости. Эта молекула в случайные моменты времени сталкивается с другими молекулами и меняет при этом свои скорость и положение. Очевидно, что состояние молекулы подвержено случайным изменениям в каждый момент времени. Многие явления природы требуют для своего изучения умения вычислять вероятности того, что определённое число явлений (молекул, изменение цен, поступление радиосигналов и т.д.) изменяет то или иное положение. На все эти и многие другие вопросы даёт ответ статистическая теория случайных процессов или, как принято её называть «теория стохастических процессов». Очевидно, что подобные задачи возникают в физике, химии, астрономии, экономике, генетике и др. Например, когда изучают процесс химической реакции, возникает законный вопрос:

- какая часть молекулы уже вступила в реакцию,

- как происходит эта реакция во времени,

- когда практически реакция уже закончилась?

Большое число явлений протекает по принципу радиоактивного распада. Суть этого явления состоит в том, что атомы радиоактивного вещества распадаются мгновенно, превращаясь в атомы другого химического элемента. Распад каждого атома происходит по времени быстро и с большой скоростью, подобно взрыву, с выделением определённого количества энергии. Как правило, многочисленные наблюдения показывают, что распад различных атомов для наблюдателя происходит в случайно взятые моменты времени. При этом расположение этих моментов времени не зависят друг от друга в смысле теории вероятностей. Для изучения процесса радиоактивного распада существенно определить какова вероятность того, что за определённый промежуток времени распадётся некоторое количество атомов? Формально, если задаваться только выяснением математической картины подобных явлений, то можно найти простое решение таких математических задач, к которым приводят подобные явления.

Вкратце изложим как, исходя из рассмотрения проблемы блуждания частиц по прямой, учёными Планком и Фоккером было получено дифференциальное уравнение в теории диффузии.

Пусть частица в момент времени в точке, в моментыиспытывает случайные толчки, в результате которых она каждый раз перемещается с вероятностьюна величинувправо и с вероятностьютакже на величинувлево.

Обозначим через вероятность того, что частица в результатетолчков окажется в момент временив положении(ясно, что при чётном числе толчков величинаможет равняться лишь чётному числу шагов, а принечётном – лишь нечётному числу шагов. Если черезобозначить число шагов, сделанных частицей вправо (тогдаесть число шагов, которые частица совершила влево), то согласно формуле Бернулли эта вероятность равна

Ясно, что эти величины связаны между собой равенством Непосредственно, можно убедиться, что функция удовлетворяет разностному уравнению

(1) .

с начальными условиями и при. Физическая природа задачи заставит нас пойти, на определённые естественные ограничения по отношению параметров. Несоблюдение некоторых необходимых условий, о которых далее пойдёт речь, может привести к тому, что за конечный промежуток времени частица с вероятностью равной единице может уйти в бесконечность. Для того чтобы исключить такую возможность, накладываем на параметры следующие условия при

(2)

где величина выражаетскорости течения, а коэффициент диффузии.

Отнимем от обеих частей равенства (1) величину , получим

(3) .

Предположим, что функция дифференцируема подважды и один раз по. Тогда имеем

где .

После подстановки полученных равенств в (3) имеем

Отсюда, переходя к пределу и на основании условий (2) получим окончательно

(4)

Таким образом, мы получили известное уравнение, носящее в теории диффузии название уравнения Фоккера – Планка.

Начало общей теории стохастических процессов было положено в фундаментальных работах А.Н. Колмогорова и А.Я. Хинчина в начале 30 – х годов. В статье А.Н. Колмогорова «Об аналитических методах теории вероятностей» было дано систематическое и строгое построение основ теории стохастических процессов без последействия или, как часто говорят, процессов Марковского типа. В ряде работ Хинчина была создана теория, так называемых, стационарных процессов.

Таким образом, раздел математики, изучающий случайные явления в динамике их

развития, называется теорией случайных процессов (случайных функций). Её методы часто используются: в теории автоматического управления, при анализе и планировании финансовой деятельности предприятий и хозяйств, при обработке и передаче необходимых информаций (сигналов в радиотехнических устройствах, спутниковых связей и др.), в экономике и в теории массового обслуживания.

Кратко рассмотрим основные понятия теории случайных процессов (СП).

Если каждому значению , гдеобозначает некоторое множество действительных чисел, поставлена в соответствие с.в., то говорят, что на множествезадана случайная функция (с.ф.). Случайные процессы, у которых, особенно важны в приложениях. В тех случаях, когда параметринтерпретируется как временной параметр, то случайная функция называетсяслучайным процессом, т.е. случайным процессом называется семейство с.в. зависящих от параметраи заданных на одном и том же пространстве элементарных событийОбозначаетсяили

Случайный процесс можно задать в виде формулы (аналитической записи), если вид случайной функции известен. Например, с.ф. является с.п., где случайная величинаимеет равномерное распределение. При фиксированном значении, с.п.,то с.п. обращается в с.в.которую называют сечением случайного процесса.

Реализациейилитраекториейслучайного процессаназываетсянеслучайная функция временипри фиксированном, т.е. в результате испытания с.п. принимает конкретный вид, при этом реализации с.п. обозначают через,где индексы указывают на номер испытания.

На рис.59 показаны три реализации случайного процесса при;

Они напоминают виды трёх синусоидальных колебательных явлений в некотором механическом процессе, при этом каждая такая реализация (траектория) является обычной функцией

Рис.59 (Письменный).

В данном примере с.в.в трёх опытах приняла соответственно три значения: 1, 2, 0,5, т.е. констатируется три реализации СП:. Все три функции являются неслучайными. Если в этом примере зафиксировать момент времени, при, то получим сечение:- случайная величина или при,-случайные величины. Отметим, чтотак называемыйодномерный закон распределения случайного процесса не является исчерпывающей характеристикой с.п.Случайный процесс представляет собой совокупность всех сечений при различных значениях, поэтому для полного его описания следует рассматривать совместную функцию распределения сечений процесса:

так называемый конечномерный закон распределения с.п. в моменты . Другими словами возникают многомерные с.в..

Таким образом, понятие с.п. является прямым обобщением понятия системы случайных величин, когда этих величин – бесконечное множество.