3. Марковский случайный процесс с отказами

Система массового обслуживания представляет собой систему дискретного типа с конечным или счетным множеством состояний, а переход системы из одного состояния в другое происходит скач­кообразно, когда осуществляется какое-нибудь событие.

Процесс называ­ется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния можно заранее перенумеровать, и переход системы из одного состояния в другое состояние происходит практически мгновенно. Такие процессы бывают двух типов: сдискретным или непрерывным временем. В случае дискретного времени, переходы из одного в другое состояние могут происходить в строго определен­ные моменты времени. Процессы с непрерывным временем отличаются тем, что переход системы в новое состояние возможен в любой момент времени.

Случайный процесс называется марковским, если для любого момента времени вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Переходы системы из одного состояния в другое состояние происходят под действием каких-то потоков событий (поток заявок, поток отказов). Если все потоки событий, переводящие систему в новое состояние простейшие пуассоновские, то процесс, протекающий в системе будет марковским. Поскольку, простейший поток не обладает последствием: в нем будущее не зависит от прошлого.

В системах с отказами заявок, поступившая информация в момент времени, когда все каналы обслуживания заняты, немедленно получает отказ, покида­ет систему и в дальнейшем в процессе обслуживания не участвует. Имеется каналов обслуживания, на которые поступает поток зая­вок с интенсивностью .

Поток обслуживания имеет интенсив­ность µ (величина, обратная среднему времени обслуживания ). Требуется найти вероятности состояний СМО и характеристики ее,

эффективности. Так как оба потока: заявок и освобождений — простейшие, то процесс

протекающий в системе, будет Марковским.

Рассмотрим ее как систему с конечным множеством состояний:

— свободны все каналы;

— занят ровно один канал;

— занят ровно каналов;

— заняты все каналов.

Обозначим через вероятность того, что в момент времени t система будет находиться в состоянии . Для любого t выполняется равенство

Требуется определить вероятности состояний системы для лю­бого момента времени t.

Составим дифференциальные уравнения для всех вероятно­стей. Начнем с . Зафиксируем момент времени t, и дадим t малое приращение t и найдем вероятность того, что в момент t+t сис­тема находится в состоянии. Это процесс может осуществляться двумя спосо­бами: либо в момент времени t система будет находиться в состоянии , а за прошедшее время не вышла из него, либо в момент времени t система будет находиться в состоянии, а за время t перейдет в состояние .

Вероятность первого способа найдем по теореме умножения веро­ятностей. Вероятность того, что в момент времени t система была в состоя­нии , равна , вероятность того, что за время t не поступит ни одной заявки, равна

Вероятность первого способа равна _. Найдем вероятность второго способа. Вероятность того, что в момент времени t система была в состоянии, равна . Вероятность то­го, что за время t канал освободится, равна .

Вероят­ность второго способа составит _.

По теореме сложения ве­роятностей имеем

Отсюда получается дифференциальное уравнение для определения :

Аналогично составляются дифференциальные уравнения для вероятностей других состояний.

Пусть 0 < к < п. (См. также 17.5). Вычислим - вероятность того, что в момент времени t + t сис­тема будет в состоянии . Эта вероятность вычисляется как вероятность суммы трех событий:

1) в момент t система была в состоянии и не вышла из него за время t;

2) в момент t система была в состоянии , а за время t пе­решла в состояние

3) в момент t система была в состоянии , а за время t пе­решла в состояние .

Тогда

Дифференциальное уравнение для вероятности :

Уравнение для вероятности :

.

Получена система уравнений для вероятностей:

(3)

Эти уравнения называются уравнениями Эрланга. А полученная система (3) будет называться системой Эрланга. Нас интересует вопрос: что будет происходить с вероятностями состояний при больших , т.е. . Будут ли вероятности стремиться к конечным пределам? В тех случаях,когда эти пределы существуют и не зависят от начального состояния систе­мы, то их называют финальными вероятностями состояний.

В тео­рии случайных процессов доказывается, что если число состояний системы конечно и из каждого из них за конечное число шагов можно перейти в любое другое состояние, то финальные вероятности сущест­вуют. При в системе устанавливается предельный стацио­нарный режим, в ходе которого система меняет свои состояния случайным образом, но их вероятности уже не зависят от пройденного времени. Финальную вероятность состояния можно истолковать как сред­нее относительное время пребывания системы в этом состоянии. Если финальные вероятности постоянны, то их производные равны нулю. Чтобы найти финальные вероятности, заменим в системе дифференциальных уравнений (3) все вероятности P(t) их пределами , а все производные полагаем равными нулю. Получаем систему алгебраических уравнений:

(4)

Для этих вероятностей должно выполняться условие

Вводим обозначение и решаем систему относительнонеизвестных вероятностей:

для всех

Чтобы выразить вероятности непосредственно черези n, используем условие (контроль)

Следовательно,

отсюда получим

получаем итоговые вероятности

Полученные формулы называют формулами Эрланга. Эти фор­мулы позволяют получить показатели эффективности работы СМО.

Вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок, получается из формул Эрланга для итоговых вероятностей:

Требование, поступающее в систему, получает отказ в том случае, когда все каналы обслуживания заняты. Поэтому вероятность отказа равна:

Отсюда находим относительную пропускную способность системы, т.е. среднюю долю поступивших заявок, обслуживаемых системой. Вероятность того, что заявка будет обслужена равна:

,

Абсолютную пропускную способность системы, т.е. среднее число зая­вок, обслуживаемых в единицу времени, получим, когда умножаем величину интен­сивности потока заявок на относительную пропускную способность:

.

Абсолютная пропускная способность системы — это интенсивность по­тока обслуженных системой заявок, а каждый занятый канал в еди­ницу времени обслуживает в среднем заявок. Значит, среднее число занятых каналов равно

Доля каналов, занятых обслуживанием:

.

Теория массового обслуживания позволяет установить зависимость вероятностных характеристик СМО от интенсивности потока заявок, производительности и числа каналов и т.д. и часто включает экономический аспект. Например, стремятся найти наименьшую полную стоимость потерь , связанных со временем ожидания заявок на обслуживание в очереди и временем простоя каналов обслуживания:

.

где - стоимость единицы времени ожидания одной заявки;

- стоимость единицы времени простоя одного канала.

Характеристиками эффективности СМО являются:

- - абсолютная пропускная способность, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в

единицу времени;

- - относительная пропускная способность, т.е. сред­няя доля пришедших заявок, и они

полностью обслужены системой:

- - среднее число занятых каналов.

На базе введенных обозначений рассмотрим расчёты СМО.