3. Интегральная функция распределения

двумерной случайной величины

Рассмотрим двумерную случайную величину (безразлично дискретную или непрерывную). Пусть ;пара действительных чисел. Вероятность события, состоящего в том, чтоX примет значение, меньше x, и при этом Y примет значение, меньше y, обозначим через . Если x и y принимают значения от своих множеств, то, вообще говоря, будет изменяться и , т.е. выражение есть функция двух переменных x и y.

Интегральной функцией распределения двумерной случайной величины называют функцию , определяющую для каждой пары чиселx, y вероятность того, что примет значение, меньшее x и при этом примет значение, меньшееy:

(4)

Геометрически это равенство можно истолковать так: - есть вероятность того, что случайная точка попадет в бесконечный квадрант с вершиной (x, y), расположенный левее и ниже этой вершины.

Рис13 (из кн. Гм.)

Пример 3. Найти вероятность того, что в результате испытания составляющая двумерной случайной величины примет значение и при этом составляющая примет значение , где, если известна интегральная функция системы

Решение. По определению интегральной функции двумерной случайной величины, при указанных значениях координат:и, получим:

Свойства интегральной функции двумерной случайной величины

Свойство 1. Значения интегральной функции удовлетворяют двойному неравенству

.

Доказательство.Свойство вытекает из определения интегральной функции как функции вероятности: вероятность всегда неотрицательное число, не превышающее единицу.

Свойство 2. - есть неубывающая функция по каждому из своих аргументов при фиксированном другом, т.е.

(5) ;

Доказательство. Докажем, что - есть неубывающая функция по аргументу x. Событие, состоящее в том, что составляющая примет значение, меньшее , (при этом составляющая ), можно подразделить на следующие два несовместных события:

1. Пусть и, тогда эти значения принимаются с вероятностью.

2. X примет значения, удовлетворяющие условиям: , и Y<y с вероятностью .

По теореме сложения имеем

+

Отсюда

.

Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то

,

или

Что и требовалось доказать.

Свойство становится наглядно ясным, если воспользоваться геометрическим истолкованием интегральной функции как вероятности попадания случайной точки в бесконечный квадрант с вершиной . При возрастании x правая граница этого квадранта сдвигается вправо; при этом вероятность попадания случайной точки в «новый» квадрант, очевидно, не может уменьшиться.

Аналогично доказывается, что есть неубывающая функция по аргументу y.

Свойство 3. Если хотя бы один из аргументов обращается в , то функция распределения равна нулю, и если оба аргумента обращаются в ,то функция распределения равна единице, т.е.

1. 2.

3. 4.

Доказательство. 1. есть вероятность события и ; но такое событие невозможно (поскольку невозможно событие), поэтому вероятность этого события равна нулю. Аналогично проверяются свойства 2. и 3. Свойство 4. достоверно, так как не бывают случаи:.

Другими словами свойство становится наглядно ясным, если принять во внимание, что при x→∞ и y→∞ бесконечный квадрант превращается во всю плоскость XOY и, следовательно, попадание случайной точки в эту плоскость в результате испытания есть достоверное событие.

Свойство 4. а) Если , то функция системы становится интегральной функцией одной лишь составляющей :

б) Если функция ,то системы становится интегральной функцией одной лишь составляющей Y:

.

Доказательство. а) Так как событие достоверно, то определяет вероятность события X<x, т.е. представляет собой интегральную функцию составляющей одной лишь с.в. X.

Свойство б) доказывается аналогично.

Свойство 5. является непрерывной слева по каждому из своих аргументов, т.е.

Следует, отметим что, зная совместное распределение двух случайных величин и, можно найти одномерные распределения этих случайных величин, но обратное, вообще говоря, неверно.

С геометрической точки зрения - есть некоторая поверхность (ступенчатая для двумерной д. с.в.), обладающая указанными свойствами.

С помощью функции легко можно найти вероятность попадания случайной точкив полуполосу и в прямоугольник.