Глава 3

Системы случайных величин

Тема 11. Системы случайных величин и

законы совместного распределения

1. Понятие о системе нескольких случайных величин

При изучении случайных явлений, возможные значения которых определялись одним числом. Такие величины называютcя одномерными. Например, число очков, которое может выпасть при бросании игральной кости – дискретная одномерная случайная величина; расстояние от орудия до места падения снаряда – непрерывная одномерная случайная величина, измерения прибором некоторый процесс (температуры тела пациентов в лечебном учреждении, напряжение электрического тока, температуры воздуха и т.д.).

Кроме одномерных случайных явлений, нередко приходится иметь дело с двумя и более двумя случайными величинами. Такие величины принято называть – многомерными (соответственно двумерными, трехмерными, …, мерными). Совместное рассмотрение нескольких с.в. приводят к системам случайных величин.

Примеры многомерных случайных величин:

- станок – автомат штампует стальные плитки. Если контролируемыми размерами являются длина см. и ширинасм., то имеем двумерную случайную величину;

- если же контролируется и высота Z, то имеем трехмерную с.в. {X, Y, Z};

- успеваемость любого студента характеризуется системой случайных величин оценками, проставленными в зачётной книжке по предметам;

- качество выпущенного готового изделия некоторой фирмой зависит от многих случайных факторов: наличие качества и объёма сырья, комплектованность специалистов, технического оснащения оборудованиями, ответственностью управленческого аппарата, уровня контроля качества выпущенной готовой продукции и ряда других;

- результат любого футбольного матча зависит: от уровня мастерства и игрового настроя каждого игрока, целенаправленной командной игры, качества игрового поля, погодные условия во время матча, объективность судейства, и многих других факторов.

Упорядоченный набор случайных величин;заданных в одном и том же ПЭС, называетсямерной случайной величиной или системойслучайных величин

Каждая одномерная с.в.называется компонентами или составляющими мерной случайной величины. Их удобно рассматривать как координаты случайной точки или случайного векторав пространствеизмерений. На многомерные с.в. распространяются почти без изменений основные понятия и определения, относящиейся к одномерным случайным величинам, соответственно можно в «разумных» пределах развить теорию «многомерных линейных пространств» над множеством многомерных случайных величин со всеми отсюда вытекающими теоретическими и практическими выводами, но это выходит за рамки нашей книги. Здесь для простоты, в основном мы ограничимся изучением двумерных случайных величин. Читатель легко может заметить, что основные понятия, определений и утверждения могут быть обобщены на случаи большего числа компонент.

Упорядоченная пара двух случайных величинизаданных в одном и том же пространстве элементарных событий, называется двумерной случайной величиной или системой двух одномерных случайных величини.

Двумерную случайную величину (X, Y) геометрически можно истолковать либо как случайную точкуна плоскости, т.е. как точку со случайными координатами либо как случайный вектор .

Рис. 36 и 37. Из Письменного

Целесообразно различать дискретные (составляющие этих величин дискретны) и непрерывные (составляющие этих величин непрерывны) многомерные случайные величины.

Пример 1. Бросаются две игральные кости. Пусть с.в.число выпавших очков на первой кости,с.в.число выпавших очков на второй кости; ПЭС состоит из 36 элементов:Элементарному событию, например,=соответствует пара чиселСовокупность этих значений и составляет множество элементов ПЭС.

Системы с.в. могут быть дискретными,непрерывными и смешаннымив зависимости от типа случайных величин, образующих систему. В первом случае обе компоненты этих с.в. дискретны, во втором обе компоненты непрерывны и в третьем разных типов (где указывается какое из них дискретное и какое – непрерывное).

Наиболее полной характеристикой системы с.в. является ее закон распределения вероятностей, указывающий область возможных значений системы случайных величин и соответствующие вероятности появления этих событий. Как и для отдельных случайных величин, закон распределения системы может иметь разные формы (таблица, функция распределения, плотность, …).