3. Среднее квадратичное отклонение

Замечание к пункту С.2. показывает, что мера рассеивания значение с.в. вокруг его среднего значения кроме дисперсии служат и другие характеристики. К ним относится так называемое «среднее квадратичное отклонение» (кратко с.к.о.) Здесь имеется ввиду то обстоятельство, что дисперсия имеетквадратичную меру, а с.в. имеетлинейную меру, следовательно, на практике удобно использовать такую же меру рассеивания, как для с.в., которая являетсялинейной (т.е линеаризованным средним рассеиванием).

Средним квадратическим отклонениемслучайной величиныили «стандартом» называют квадратный корень из её дисперсии, обозначают числомили ().

Таким образом, по определению

(16)

Из свойства дисперсии непосредственно выводится соответствующие свойства с.к.о.:

(17) .

Задание. Проверить свойства с.к.о. (17).

При изучения свойств случайных явлений, независящих от выбора масштаба измерения и положения центра группирования, с.в.приводят к некоторому стандартному виду: например, еецентрализируют, т.е. получают новую с.в., перенося предварительно начало координат в точку с абсциссой, равной.

Затем, эту величину делят на с.к.о. и получают новую, случайную величину

(18)

Обычно случайную величину принято называтьнормированной(стандартной) случайной величиной. Имеет место утверждение.

Теорема 8.2.Математическое ожидание нормированной случайной величины равнонулю, а её дисперсия и среднее квадратичное отклонение равны единице .

Доказательство. Из равенство (18) и в соответствии со свойствами м.о. и дисперсии имеем:

.

Таким образом, для стандартной случайной величины

(19) ;.

Следствие.

Пример 4. Дискретная случайная величиназадана законом распределения

	-1	0	1	2
	0,2	0,1	0,3	0,4

Контроль .

Найти: 1..

2.Составить закон распределения с.в.и вычислить.

Решение. На основании формул (1), (13), (19), (21) и (22) соответственно получим:

.

Составим закон распределения стандартной случайной величины

	- 1,9	- 0,9	0,1	1,1
	0,2	0,1	0,3	0,4

Здесь, очевидно, что контроль выполняется. Найдём и покажем, что оно равно нулю. Действительно, согласно таблице имеем

Далее, посколькуто согласноС.2.

.

Задание. Построить таблицу распределения случайной величины.

4. Среднее квадратичное отклонение суммы

взаимно независимых случайных величин

Рассмотрим взаимно независимые случайные величины.Обозначим черезих сумму. Далее, пусть известны среднее квадратичные ого отклонения каждого из них:. Рассмотрим задачу: как найти среднее квадратичное отклонение суммы рассматриваемых величин? Ответом на эту задачу даёт следующая теорема.

Теорема 8.3. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратичных отклонений этих величин, т.е.

Доказательство. Дисперсия нескольких взаимно независимых с.в. равна сумме дисперсий слагаемых (С. 3.), поэтому с учётом определения с.к.о.имеем:

.

Теорема доказана.